matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-StochastikQuantile aus Verteilungsfkt
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Uni-Stochastik" - Quantile aus Verteilungsfkt
Quantile aus Verteilungsfkt < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Quantile aus Verteilungsfkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:37 Mi 13.01.2010
Autor: meckie

Aufgabe
Für die Verteilungsfunktion
F(z) = [mm] \integral_{-\infty}^{z}{f(x) dx} [/mm]
mit
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<-1\\ 1-|x|, & \mbox{für } -11\end{cases} [/mm]
ermittle man die Quantie [mm] z_{q} [/mm] für q = 0.25, 0.5 und 0.75

Hallo zusammen ich bräuchte ein bisschen Hilfe bei dieser Aufgabe.
Laut Script gilt [mm] \alpha \in [/mm] ]0,1[   [mm] F(z_{\alpha}) \ge \alpha [/mm] und [mm] \alpha>F(z) [/mm] für [mm] z Für streng monoton wachsende verteilungsfunktionen gilt dann noch [mm] \alpha [/mm] = [mm] F(z_{\alpha}) [/mm] = [mm] P(Z\le z_{\alpha}) [/mm]
Ich weiß nur noch nicht was ich damit anfangen kann. Muss ich dann die 0.25 in f(x) einsetzen? Ich hoffe ihr könnt mir helfen

LG Meckie

        
Bezug
Quantile aus Verteilungsfkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:46 Mi 13.01.2010
Autor: luis52

Moin mecki,

bestimme doch mal $F(x)$ fuer alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] ...

vg Luis


Bezug
                
Bezug
Quantile aus Verteilungsfkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:39 Mi 13.01.2010
Autor: meckie

Ok ehm wenn ich das richtig verstanden habe muss ich das jetzt Integrieren. Da das mit dem Betrag ein wenig plöd ist dachte ich mir ich spalte das auf in folgendes:
[mm] f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<-1\\ 1+x, & \mbox{für } -11 \end{cases} [/mm]

So dann muss ich nur für 1+x und 1-x das Integral berechnen oder?

Das wäre dann doch [mm] \bruch{x^{2}}{2}+x [/mm] für 1+x und [mm] x-\bruch{x^{2}}{2} [/mm] für 1-x
Soweit so gut?

Bezug
                        
Bezug
Quantile aus Verteilungsfkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:56 Mi 13.01.2010
Autor: luis52


> Ok ehm wenn ich das richtig verstanden habe muss ich das
> jetzt Integrieren. Da das mit dem Betrag ein wenig plöd
> ist dachte ich mir ich spalte das auf in folgendes:
>  [mm]f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<-1\\ 1+x, & \mbox{für } -11 \end{cases}[/mm]

Vermutlich $f(x)_$...

>  
> So dann muss ich nur für 1+x und 1-x das Integral
> berechnen oder?
>  
> Das wäre dann doch [mm]\bruch{x^{2}}{2}+x[/mm] für 1+x und
> [mm]x-\bruch{x^{2}}{2}[/mm] für 1-x
>  Soweit so gut?

Leider nein:


[mm]F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<-1\\ \bruch{x^{2}}{2}+x, & \mbox{für } -11 \end{cases}[/mm]

vg Luis



Bezug
                                
Bezug
Quantile aus Verteilungsfkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:53 Mi 13.01.2010
Autor: meckie

Jo das erste sollte f(x) heißen.
Du hast natürlich recht mit dem [mm] \bruch{1}{2}+x-\bruch{x^{2}}{2} [/mm] habe ganz vergessen das dies eine Verteilungsfunktion ist...

Jetzt hätte ich noch eine Frage zu den Quantilen.
Ich weiß nämlich nicht ob ich das alles richtig verstanden habe.
Ich weiß doch das [mm] F(z_{0.25}) [/mm] = 0.25 ist
Und dann müsste doch das Quantil zwischen -1 und 0 liegen. also dann
[mm] -1 dann kann ich das da einsetzen und hätte dann
[mm] \bruch{z_{0.25}^{2}}{2}+z_{0.25} [/mm] = 0.25
Soweit so gut? Und das dann nach [mm] z_{0.25} [/mm] auflösen?

Lg Meckie

Bezug
                                        
Bezug
Quantile aus Verteilungsfkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 Mi 13.01.2010
Autor: luis52


>  Ich weiß doch das [mm]F(z_{0.25})[/mm] = 0.25 ist
>  Und dann müsste doch das Quantil zwischen -1 und 0
> liegen. also dann
>  [mm]-1

[ok]

>  dann kann ich das da einsetzen und hätte dann
>  [mm]\bruch{z_{0.25}^{2}}{2}+z_{0.25}[/mm] = 0.25
>  Soweit so gut?

[ok]

> Und das dann nach [mm]z_{0.25}[/mm] auflösen?

[ok]

Es wird! ;-)

vg Luis

Bezug
                                                
Bezug
Quantile aus Verteilungsfkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:28 Mi 13.01.2010
Autor: meckie

Ok dann müsste ich da zwei lösungen für haben einmal positiv und einmal negativ. [mm] z_{0.25} [/mm] = -+  [mm] \bruch{\wurzel{6}}{2}-1 [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Quantile aus Verteilungsfkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 Mi 13.01.2010
Autor: luis52


> Ok dann müsste ich da zwei lösungen für haben einmal
> positiv und einmal negativ. [mm]z_{0.25}[/mm] = -+  
> [mm]\bruch{\wurzel{6}}{2}-1[/mm]  

Und welche ist plausibel?

vg Luis


Bezug
                                                                
Bezug
Quantile aus Verteilungsfkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:22 Mi 13.01.2010
Autor: meckie

Das positive würde ich mal sagen.

Bezug
                                                                        
Bezug
Quantile aus Verteilungsfkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:30 Mi 13.01.2010
Autor: luis52


> Das positive würde ich mal sagen.

[ok]

vg Luis

Bezug
                                                                                
Bezug
Quantile aus Verteilungsfkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:14 Do 14.01.2010
Autor: meckie

Oki vielen dank dann nochmal Luis. Du bist der beste!

LG Meckie

Bezug
                                                                                        
Bezug
Quantile aus Verteilungsfkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:28 Do 14.01.2010
Autor: luis52


> Du bist der beste!

Mehr! Meehr!

vg Luis


Bezug
                                                        
Bezug
Quantile aus Verteilungsfkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:12 Sa 16.01.2010
Autor: YaMan

Hallo,

ich muss gerade eine ähnliche Aufgabe zu Quantilen berechnen und wollte mir hier ein paar Ideen/Anregungen suchen. Der Rechenweg macht für mich durchaus Sinn, allerdings verstehe ich "das Ende" nicht so ganz.

>> Ich weiß doch das  [mm] F(z_{0.25})= [/mm] 0.25 ist
>> Und dann müsste doch das Quantil zwischen -1 und 0 liegen. also dann
>> -1 < [mm] z_{0.25} \le [/mm] 0

Soweit so gut, allerdings bekomme ich beim Einsetzen und ausrechnen entweder
[mm] z_{0.25}=-1-\wurzel{\bruch{6}{4}} [/mm] , was kleiner ist als -1
oder
[mm] z_{0.25}=-1+\wurzel{\bruch{6}{4}} [/mm] , was größer ist als 0

Und das steht doch im Widerspruch zu -1 < [mm] z_{0.25} \le [/mm] 0  , oder was hab ich da verdreht mit Verteilungs- und Dichtefunktion?

Lg

YaMan

Bezug
                                                                
Bezug
Quantile aus Verteilungsfkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Sa 16.01.2010
Autor: luis52

Moin YaMan,

du hast voellig recht, ich habe nicht aufgepasst.

Die Verteilungsfunktion oben stimmt nicht. Sie muss vielmehr lauten:


[mm]F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<-1\\ \bruch{x^{2}}{2}+x+\red{\bruch{1}{2}}, & \mbox{für } -11 \end{cases}[/mm]

Dann kommt's hin, denke ich. Danke.

vg Luis

Bezug
                                                                        
Bezug
Quantile aus Verteilungsfkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:40 Sa 16.01.2010
Autor: YaMan

Ahja, super! Jetzt macht alles Sinn :)

Danke Dir - ich glaub so langsam versteh ichs *freu*

Bezug
        
Bezug
Quantile aus Verteilungsfkt: So würde ich es sehen...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Mi 13.01.2010
Autor: gfm

Für den Fall, dass die die "Klammerei" bei zusammengesetzten Funktionen nicht magst, die Rechnungen lieber in Zeilen der gleichen Höhe machts und einen standardisierte Vorgehensweise liebst, dann stellst Du als erstes die stückweise definierte Funktion als Summe von Produkten von Indikatorfunktionen und den Funktionen auf den Bereichen, auf denen Sie definiert sind, dar:

[mm] f(x)=(1+x)1_{[-1,0]}(x)+(1-x)1_{(0,1]}(x) [/mm]

nach einiger Übung erlaubt Dir das eine standardisierte und strukturierte Berechnung:

[mm] F(t)=\integral_{\infty}^{t}{(1+x)1_{[-1,0]}(x)+(1-x)1_{(0,1]}(x) dx}= [/mm]
[mm] 1_{[-1,0)}(t)(x+\bruch{1}{2} x^2)_{-1}^{t}+1_{[0,\infty)}(t)(x+\bruch{1}{2} x^2)_{-1}^{0}+1_{[0,1)}(t)(x-\bruch{1}{2} x^2)_{0}^{t}+ [/mm]
[mm] 1_{[1,\infty)}(t)(x-\bruch{1}{2} x^2)_{0}^{1}=1_{[-1,0)}(t)(\bruch{1}{2}+t+\bruch{1}{2} t^2)+1_{[0,\infty)}(t)(\bruch{1}{2})+1_{[0,1)}(t)(t-\bruch{1}{2} t^2)+1_{[1,\infty)}(t)(\bruch{1}{2}) [/mm]
[mm] =1_{[-1,0)}(t)(\bruch{1}{2}+t+\bruch{1}{2} t^2)+1_{[0,1)}(t)(\bruch{1}{2} +t-\bruch{1}{2} t^2)+1_{[1,\infty)}(t) [/mm]
[mm] =1_{[-1,1]}(t)(\bruch{1}{2} +t-Sgn(t)\bruch{1}{2} t^2)+1_{(1,\infty)}(t) [/mm]

Das ganze kann man natürlich auch einfacher erhalten, wenn man bemerkt, dass es sich hier um die Fläche unter einem Dreieck mit [-1,1] auf der x-Achse als Basis und der Spitze bei (1,0) auf der y-Achse handelt:

Wenn x zwischen -1 und 0 liegt: Fläche = Grundseite mal Höhe durch zwei: [mm] \bruch{(1+x)(x-(-1))}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1 + 2x + x^2}{2} [/mm]

Wenn x zwischen 0 und 1 liegt: Fläche der linken Seite(0.5) plus die Trapezfläche (Grundseite x mal Mittelwert aus linker (1) und rechter Seite (1-x)) unter der dem Dreieck von 0 bis x:

[mm] \bruch{1}{2}+x*\bruch{1+(1-x)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}+x-\bruch{1}{2}x^2 [/mm]

Ein [mm] \alpha-Quantil [/mm] ist ein Lagemaß, wobei [mm] \alpha [/mm] eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 ist. Das [mm] \alpha-Quantil [/mm] ist ein Merkmalswert, der die Verteilung einer Variablen bzw. Zufallsvariablen in zwei Teile teilt. Links vom [mm] \alpha-Quantil [/mm] liegen 100 [mm] \alpha [/mm] Prozent aller Beobachtungswerte. Rechts davon liegen [mm] 100(1-\alpha) [/mm] Prozent aller Beobachtungswerte (http://de.wikipedia.org/wiki/Quantil)

Für den Fall, dass Deine (Radon-Nikodym-) Dichte f(x) gegen das Lebeques-Maß zu einer "braven" (z.B. nur endlich viele und nur endliche Sprünge und auch nicht mittendrin auf einem ganzen Abschnitt gleich null) , Funktion geführt hat (wie in Deinem Fall), wird beim Übergang zur Verteilungsfunktion durch den Glättungs- und Summierungseffekt beim Integrieren eine streng monotone stetige Funktion daraus.

In diesem Fall löst Du dann einfach [mm] F(t)=\alpha [/mm]

[mm] 1_{[-1,1]}(t)(\bruch{1}{2} +t-Sgn(t)\bruch{1}{2} t^2)=\alpha [/mm]

also

[mm] 1_{[-1,1]}(t)(\bruch{1}{2} +t+\bruch{1}{2} t^2)=\alpha [/mm]  und  [mm] t\le0 [/mm]

oder

[mm] 1_{[-1,1]}(t)(\bruch{1}{2} +t-\bruch{1}{2} t^2)=\alpha [/mm]  und  t>0

Hoffe das hilft Dir.

LG

gfm







Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]