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Forum "Statistik/Hypothesentests" - Quartil Q1
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Quartil Q1: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:29 Fr 23.04.2021
Autor: steve.joke

Aufgabe
Hallo eine Frage zur Formel, mit der man das 1. Quartil berechnen kann.

Im Buch stand:

Wenn 0,25 [mm] \cdot [/mm] n  ganzzahlig ist, dann gilt:

[mm] Q_1=0,5 \cdot (X_{0,25 \cdot n} [/mm] + [mm] X_{0,25 \cdot n +1} [/mm] )

Sonst

[mm] Q_1= X_{0,25 \cdot n} [/mm] (Es wird dann immer aufgerundet!)

Beispiel:

Wir haben 7 Elemente, dann ist

0,25 [mm] \cdot [/mm] 7 = 1,75 nicht ganzzahlig, also

[mm] Q_1= X_{0,25 \cdot 7} [/mm] = [mm] X_2 [/mm]

Haut hin, an der Stelle [mm] X_2 [/mm] ist [mm] Q_1. [/mm]

Nehmen wir jetzt an, wir haben 9 Elemente, d.h.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Kontrolle:  0,25 [mm] \cdot [/mm] 9 = 2,25 nicht ganzzahlig, also

[mm] Q_1= X_{0,25 \cdot 9} [/mm] = [mm] X_3 [/mm]

Nach der Formel müsste [mm] Q_1 [/mm] an der 3. Stelle sein. Das stimmt doch aber nicht, [mm] Q_1 [/mm] muss zwischen [mm] X_2 [/mm] und [mm] X_3 [/mm] sein.

Wo ist nun der Fehler??



        
Bezug
Quartil Q1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:43 Fr 23.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

deine Fallunterscheidung ist genau falsch rum und dazu noch inkorrekt aufgeschrieben, es müsste heißen:

> Wenn 0,25 [mm]\cdot[/mm] n  ganzzahlig ist, dann gilt:
> [mm]Q_1= X_{0,25 \cdot n}[/mm]
>  
> Sonst:
> [mm]Q_1=0,5 \cdot \left(X_{\lfloor 0,25 \cdot n\rfloor} + X_{\lfloor 0,25 \cdot n\rfloor +1}\right )[/mm]

Alternativ (weil dasselbe)

> Sonst:
> [mm]Q_1=0,5 \cdot \left(X_{\lfloor 0,25 \cdot n\rfloor} + X_{\lceil 0,25 \cdot n\rceil}\right)[/mm]


Das macht auch inhaltlich total Sinn.
Das 1. Quartil ist der Wert, so dass [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] aller Werte kleiner oder gleich sind. Oder Anschaulich: Liste ich alle Werte auf, ist es gerade die Grenze, so dass obiges zutrifft.

Lässt sich meine Anzahl vierteln (also ist [mm] $0.25\cdot [/mm] n$ ganzzahlig), nehme ich  einfach das erste Viertel, also alle Werte bis [mm] $X_{0.25\cdot n}$, [/mm] d.h. meine Grenze ist [mm] $X_{0.25\cdot n}$ [/mm]

Lässt sich meine Anzahl nicht exakt vierteln, setze ich die Grenze genau in die Mitte zwischen den beiden Werten, von denen einer noch im ersten Viertel liegt und der zweite gerade draußen, also [mm]0,5 \cdot \left(X_{\lfloor 0,25 \cdot n\rfloor} + X_{\lfloor 0,25 \cdot n\rfloor +1}\right )[/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Quartil Q1: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:01 Fr 23.04.2021
Autor: steve.joke

Aber warum haut das bei meinem Beispiel mit 9 Elementen nicht hin? Bei 7 Elementen würde es gehen?

Bezug
                        
Bezug
Quartil Q1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:19 Fr 23.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Aber warum haut das bei meinem Beispiel mit 9 Elementen nicht hin?

Weil deine Definition falsch war.

> Bei 7 Elementen würde es gehen?

Weil auch generell falsche Aussagen manchmal richtig sind.
Beispiel: 60 ist durch alle Zahlen teilbar.

Ist offensichtlich falsch, stimmt aber für 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 etc
Ist das nicht verwunderlich?

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Quartil Q1: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:47 Mo 26.04.2021
Autor: steve.joke

Hallo,

ich nochmal. Die Formel umdrehen funktioniert doch auch nicht.

Nehmen wir an, wir haben 8 Elemente. Dann ist  0,25 [mm] \cdot [/mm] 8 = 2  eine ganzzahlige Zahl, das würde dann bedeuten:

[mm] Q_1= X_{0,25 \cdot 8} [/mm] = [mm] X_2 [/mm] Das ist doch aber auch nicht richtig.

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

[mm] Q_2 [/mm] = [mm] X_{4,5} [/mm]

und [mm] Q_1 [/mm] wäre doch zwischen 2 und 3, d.h. bei [mm] X_{2,5} [/mm] und nicht [mm] X_2, [/mm] oder?



Bezug
                        
Bezug
Quartil Q1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:03 Mo 26.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

also erstmal: Du musst aufpassen. Du wirfst immer Werte und Indizes durcheinander.

> Nehmen wir an, wir haben 8 Elemente. Dann ist  0,25 [mm]\cdot[/mm] 8
> = 2  eine ganzzahlige Zahl, das würde dann bedeuten:
>  
> [mm]Q_1= X_{0,25 \cdot 8}[/mm] = [mm]X_2[/mm]

[ok]

> Das ist doch aber auch nicht richtig.
>  
> 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
>  
> [mm]Q_2[/mm] = [mm]X_{4,5}[/mm]

Hier ein schönes Beispiel: Es gibt kein [mm] $X_{4,5}$, [/mm] das ist Blödsinn.
Was du meinst: [mm] Q_2 [/mm] liegt zwischen [mm] $X_4$ [/mm] und [mm] $X_5$ [/mm] und nach eurer Definition des Quartils nimmt man gerade exakt die Mitte, d.h. [mm] $Q_2 [/mm] = [mm] 0,5(X_4 [/mm] + [mm] X_5) [/mm] = 0,5(4+5) = 4,5$

D.h. [mm] $Q_2 [/mm] = 4,5$ und NICHT [mm] $X_{4,5}$ [/mm]

> und [mm]Q_1[/mm] wäre doch zwischen 2 und 3

Wieso sollte das so sein? Nach eurer DEFINITION gilt für den Fall, das 0,25 * 8 = 4 eine ganze zahl ist, dass [mm] $Q_1 [/mm] = [mm] X_{0,25 * 8}$ [/mm]

Hier wieder drauf achten: Der Index ist IMMER eine ganze Zahl, darum braucht man die Voraussetzung, dass 0,25*8 eine ganze Zahl ist!
Und nach der Definition gilt eben: [mm] $Q_1 [/mm] = [mm] X_{0,25 * 8} [/mm] = [mm] X_2 [/mm] = 2$

Formal ist es tatsächlich so: Du kannst JEDE Zahl nehmen als 0,25-Quartil, die in dem zwischen [mm] X_2 [/mm] (einschließlich) und [mm] X_3 [/mm] (ausschließlich) liegt.

Nach eurer Definition ist aber hier klar vorgegeben: [mm] $Q_1 [/mm] = [mm] X_{0,25 * 8} [/mm] = [mm] X_2 [/mm] = 2$

Gruß,
Gono

Bezug
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