Quasikonvexe Funktionen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:01 Di 16.11.2004 | | Autor: | cremchen |
Halli hallo!
Ich habe da ein Problem mit einer Aufgabe, sie lautet:
Eine Funktion [mm] f:\IR^{n}\to\IR [/mm] heißt quasikonvex, wenn die Niveaumengen [mm] \cal{L} [/mm] ( [mm] f,\beta)=[ [/mm] x [mm] \in \IR^{n} [/mm] : f(x) [mm] \le \beta] [/mm] für jedes [mm] \beta\in\IR [/mm] konvex sind.
a) Geben Sie eine quasikonvexe Funktion an, die nicht konvex ist (zur Erinnerung, eine Funktion heißt konvex wenn gilt [mm] f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y) [/mm] )
b) Sei [mm] \cal{C} [/mm] als Teilmenge des [mm] \IR^{n} [/mm] konvex und sei [mm] f:\IR^{n}\to\IR [/mm] eine quasikonvexe Funktion. Beweisen oder widerlegen Sie: Jedes lokale Minimum von f über [mm] \cal{C} [/mm] ist ein globales Minimum.
Also ich habe echt keinen Plan!
Was a) angeht habe ich versucht es mir vorzustellen, wie es für einfache Funktionen aussieht, aber ich kann mir keine einzige nichtkonvexe Funktion so vorstellen.
Und bei b) habe ich absolut keine Ahnung! Ich weiß nichtmal, ob die Aussage stimmt oder nicht!
Ich wär echt froh, wenn mir da jemand einen Denkanstoß und/oder ein paar Hinweise geben könnte!
Vielen lieben Dank und liebe Grüße
Ulrike
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Di 16.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Ulrike!
Ich würde es mal mit einer Treppenfunktion versuchen, zum Beispiel:
$f : [mm] \begin{array}{ccc} \IR & \to & \IR \\[5pt] x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & , & x<0 ,\\[5pt] 1 & , & x \ge 0. \end{array} \right. \end{array}$.
[/mm]
Eigentlich sollte doch $f$ quasikonvex sein, denn die zu betrachtenden Mengen [mm] $\{x \in \IR \, : \, f(x) \le \beta\}$ [/mm] sind entweder gleich [mm] $\emptyset$, [/mm] gleich [mm] $(-\infty,0)$ [/mm] oder gleich [mm] $\IR$, [/mm] also in jedem Fall konvex.
Die Funktion ist aber nicht konvex, denn es gilt:
$f(0,5 [mm] \cdot [/mm] (-1) + 0,5 [mm] \cdot [/mm] 1) = f(0) = 1 > 0,5 = 0,5 [mm] \cdot [/mm] f(-1) + 0,5 [mm] \cdot [/mm] f(1)$.
Habe ich da was übersehen?
Und ist dies nicht auch ein Gegenbeispiel für b)? Oder wie ist b) zu verstehen?
> b) Sei [mm]\cal{C}[/mm] als Teilmenge des [mm]\IR^{n}[/mm] konvex und sei
> [mm]f:\IR^{n}\to\IR[/mm] eine quasikonvexe Funktion. Beweisen oder
> widerlegen Sie: Jedes lokale Minimum von f über [mm]\cal{C}[/mm] ist
> ein globales Minimum.
Ist am Schluss gemeint: ... ein globals Minimum auf [mm] $\IR^n$ [/mm] (dann wäre ja etwa $x=1$ ein Gegenbeispiel, denn dies ist ein lokales, aber kein globales Minimum von $f$) oder ist gemeint: ein globales Minimum auf [mm] ${\cal C}$?
[/mm]
Bei ersterem würde mich wundern, dass die Aufgabe sehr einfach wäre und man die Konvexität von [mm] ${\cal C}$ [/mm] gar nciht brauchte.
Irgendwie bin ich mir unsicher... Kann das mal jemand kontrollieren?
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Di 16.11.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo Stefan!
> Ich würde es mal mit einer Treppenfunktion versuchen, zum
> Beispiel:
>
> [mm]f : \begin{array}{ccc} \IR & \to & \IR \\[5pt] x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & , & x<0 ,\\[5pt] 1 & , & x \ge 0. \end{array} \right. \end{array}[/mm].
>
>
> Eigentlich sollte doch [mm]f[/mm] quasikonvex sein, denn die zu
> betrachtenden Mengen [mm]\{x \in \IR \, : \, f(x) \le \beta\}[/mm]
> sind entweder gleich [mm]\emptyset[/mm], gleich [mm](-\infty,0)[/mm] oder
> gleich [mm]\IR[/mm], also in jedem Fall konvex.
>
> Die Funktion ist aber nicht konvex, denn es gilt:
>
> [mm]f(0,5 \cdot (-1) + 0,5 \cdot 1) = f(0) = 1 > 0,5 = 0,5 \cdot f(-1) + 0,5 \cdot f(1)[/mm].
>
>
> Habe ich da was übersehen?
Also es schaut ziemlich plausibel aus! Ich würds dir ganz spontan abkaufen 
Ich denk ich werd mir das morgen nochmal anschauen, vielleicht entdecke ich noch einen Haken....
> Und ist dies nicht auch ein Gegenbeispiel für b)? Oder wie
> ist b) zu verstehen?
>
> > b) Sei [mm]\cal{C}[/mm] als Teilmenge des [mm]\IR^{n}[/mm] konvex und sei
>
> > [mm]f:\IR^{n}\to\IR[/mm] eine quasikonvexe Funktion. Beweisen oder
>
> > widerlegen Sie: Jedes lokale Minimum von f über [mm]\cal{C}[/mm]
> ist
> > ein globales Minimum.
>
> Ist am Schluss gemeint: ... ein globals Minimum auf [mm]\IR^n[/mm]
> (dann wäre ja etwa [mm]x=1[/mm] ein Gegenbeispiel, denn dies ist ein
> lokales, aber kein globales Minimum von [mm]f[/mm]) oder ist
> gemeint: ein globales Minimum auf [mm]{\cal C}[/mm]?
Also in der Aufgabe steht nicht mehr. Ich habe es so verstanden, dass jedes lokale Minimum über [mm] {\cal C} [/mm] in globales Minimum über [mm] {\cal C} [/mm] ist!
Ich kann mir diesen Teil immer noch nicht im Kopf vorstellen!
Von daher kann ich leider auch so gar nichts dazu sagen *seufz*
Trotzdem schonmal ganz lieben Dank für deine Hilfe!!!!
Liebe Grüße
Ulrike
|
|
|
|
