Quaternionen-Schiefkörper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Do 15.11.2007 | | Autor: | IsaS. |
| Aufgabe | Auf eine Menge [mm] H:=\IC^2 [/mm] definiert man 2 Verknüpfungen +,* durch:
(a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)
[mm] (a,b)*(c,d):=(ac-\overline{b}d,bc+\overline{a}d)
[/mm]
(a,b,c,d [mm] \in \IC)
[/mm]
(das [mm] \overline{b} [/mm] in [mm] "-\overline{b}d" [/mm] und das [mm] \overline{b} [/mm] in [mm] "+\overline{b}d" [/mm] sind die kunjugiert komplezxen Zahlen)
Zeigen sie, dass (H,+,*) alle Eigenschaften eines Körpers außer der Kommuttivität der Multiplikation hat. |
Hi,
also ich verstehe das ich die Eigentschaften des Körpers nachweisen muss. also muss ich dioch zeigen, dass das Distributivgesetz gilt und ich muss das neutrale und inverse element für + und * nachweisen.
das neutrale für + ist glaube ich 0 und das für * ist die 1, oder?
das inverse element für + ist (a,b)-(c,d) und das inverse für * ist 1:((a,b)*(c,d)). glaub ich zumindest.
nur der beweis fällt mir sehr schwer.
bei dem Distributivgesetzt hab ihc leider keine idee wie ich das beweisen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
wäre uper wenn mir jemand helfen könnte.
LG Isa
PS: Das Assoziativitätgesetz für + und * müssen wir nicht nachweisen.
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> Auf eine Menge [mm]H:=\IC^2[/mm] definiert man 2 Verknüpfungen +,*
> durch:
> (a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)
> [mm](a,b)*(c,d):=(ac-\overline{b}d,bc+\overline{a}d)[/mm]
> (a,b,c,d [mm]\in \IC)[/mm]
> (das [mm]\overline{b}[/mm] in [mm]"-\overline{b}d"[/mm]
> und das [mm]\overline{b}[/mm] in [mm]"+\overline{b}d"[/mm] sind die
> kunjugiert komplezxen Zahlen)
> Zeigen sie, dass (H,+,*) alle Eigenschaften eines Körpers
> außer der Kommuttivität der Multiplikation hat.
> Hi,
> also ich verstehe das ich die Eigentschaften des Körpers
> nachweisen muss. also muss ich dioch zeigen, dass das
> Distributivgesetz gilt und ich muss das neutrale und
> inverse element für + und * nachweisen.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wenn da steht, daß Du die Eigenschaften des Körpers nachweisen sollst, außer der Kommutativität bzgl. *,
mußt Du die Eigenschaften des Körpers außer der Kommutativtät bzgl. * nachweisen.
Und wenn da zusätzlich steht, daß die Assoziativgesetze nicht nachzuweisen sind, mußt Du halt
die Eigenschaften des Körpers außer der Kommutativtät bzgl. * und den Asszoziativgesetzen nachweisen.
Du solltest Dir die Körperaxiome nochmal anschauen, Du hast eine Sache vergessen.
>
> das neutrale für + ist glaube ich 0 und das für * ist die
> 1, oder?
Das wird überhaupt nicht gut klappen.
Du bewegst Dich doch im [mm] \IC^2, [/mm] Deine Elemente sind also Zahlenpaare (also auch das neutrale Element!), und Deine Verknüpfungen die oben definierten.
Um das neutrale Element zu finden, mußt Du also nachschauen, ob Du ein Zahlenpaar [mm] (n_1, n_2) [/mm] findest, so daß für alle [mm] x,y\in \IC [/mm] gilt
[mm] (x,y)+(n_1, n_2)=(x,y).
[/mm]
Rechne dazu die linke Seite aus unter Beachtung der Def. Deiner Verknüpfung, und anschließend vergleiche die Komponenten des entstehenden Zahlenpaares mit (x,y).
> das inverse element für +
Kannst Du erst ausrechnen, wenn Du da neutrale kennst, es geht dann so ähnlich wie oben.
> das inverse
> für * ist 1:((a,b)*(c,d)). glaub ich zumindest.
Die Sache hat einen ganz fürchterlichen Haken: siehst Du, daß irgendwo die Verknüpfung : definiert ist? Ich nicht...
Du mußt erst das neutrale Element bestimmen, ähnlich wie oben.
Dann überlege Dir, was da Inverse leisten muß und berechne es Dir ähnlich wie oben.
> nur der beweis fällt mir sehr schwer.
Kein Wunder - aber wenn man mit definierten Verknüpfungenarbeitet, wird's gleich einfacher!
> bei dem Distributivgesetzt hab ihc leider keine idee wie
> ich das beweisen soll.
Schreib Dir das Distributivgesetz erstmal auf und beachte, daß Deine Elemente Zahlenpaare sind und die Verknüpfungen die oben definierten.
Dann rechne die rechte Seite aus und die linke und guck nach, ob sie gleich sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Sa 17.11.2007 | | Autor: | IsaS. |
Hi,
ersteinmal danke für die Antwort, aber ich bin mir überhaupt nciht sicher ob ichs verstanden habe. iregendwie steh iach voll auf dem schlauch bei der aufgabe.
> Du bewegst Dich doch im [mm]\IC^2,[/mm] Deine Elemente sind also
> Zahlenpaare (also auch das neutrale Element!), und Deine
> Verknüpfungen die oben definierten.
>
> Um das neutrale Element zu finden, mußt Du also
> nachschauen, ob Du ein Zahlenpaar [mm](n_1, n_2)[/mm] findest, so
> daß für alle [mm]x,y\in \IC[/mm] gilt
>
> [mm](x,y)+(n_1, n_2)=(x,y).[/mm]
>
> Rechne dazu die linke Seite aus unter Beachtung der Def.
> Deiner Verknüpfung, und anschließend vergleiche die
> Komponenten des entstehenden Zahlenpaares mit (x,y).
wenn ich versuche die linke seite auszurechnen muss ich dann
[mm] (a,b)+(c,d)+(n_1,n_2) [/mm] rechnen?
und muss dass neurale element nicht trotzdem (0,0) sein, da wenn ich nichts dazu addiere immer das vorherige rauskommt und das neutrale element ja nichts verändern darf?!
> > das inverse
> > für * ist 1:((a,b)*(c,d)). glaub ich zumindest.
>
> Die Sache hat einen ganz fürchterlichen Haken: siehst Du,
> daß irgendwo die Verknüpfung : definiert ist? Ich nicht...
>
> Du mußt erst das neutrale Element bestimmen, ähnlich wie
> oben.
> Dann überlege Dir, was da Inverse leisten muß und berechne
> es Dir ähnlich wie oben.
hier würd ich sagen das das neutrale (1,1) ist, aber das ist sicher auch falsch,oder?
>
> Schreib Dir das Distributivgesetz erstmal auf und beachte,
> daß Deine Elemente Zahlenpaare sind und die Verknüpfungen
> die oben definierten.
> Dann rechne die rechte Seite aus und die linke und guck
> nach, ob sie gleich sind.
also das Distributivgesetz lautet ja:
a(b+c)=ab+ac
heißt das jetzt für meine aufgabe, dass ich
[mm] (a_1,a_2)*((b_1,b_2)+(c_1,c_2) [/mm] rechnen muss?
ich glaube ich bin völliger auf der falschen spur bei der aufgabe. wäre echt super wenn du mir weiter helfen könntest
LG Isa
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Die Menge und ihre Verknüpfungen:
Auf einer Menge $ [mm] H:=\IC^2 [/mm] $ definiert man 2 Verknüpfungen +,* durch:
(a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)
$ [mm] (a,b)\cdot{}(c,d):=(ac-\overline{b}d,bc+\overline{a}d) [/mm] $
> > Um das neutrale Element zu finden, mußt Du also
> > nachschauen, ob Du ein Zahlenpaar [mm](n_1, n_2)[/mm] findest, so
> > daß für alle [mm]x,y\in \IC[/mm] gilt
> >
> > [mm](x,y)+(n_1, n_2)=(x,y).[/mm]
> >
> > Rechne dazu die linke Seite aus unter Beachtung der Def.
> > Deiner Verknüpfung, und anschließend vergleiche die
> > Komponenten des entstehenden Zahlenpaares mit (x,y).
>
> wenn ich versuche die linke seite auszurechnen muss ich
> dann
>
> [mm](a,b)+(c,d)+(n_1,n_2)[/mm] rechnen?
Hallo,
nein, auf der linken Seite sind die Paare (x,y) und [mm] (n_1, n_2) [/mm] nach obiger Vorschrift, also komponentenweise, zu addieren.
>
> und muss dass neurale element nicht trotzdem (0,0) sein,
Wieso trotzdem???
Du schriebst im Eingangspost etwas von 0.
Klar ist (0,0) das neutrale Element. Wenn Du es schon kennst, brauchst Du es ja nicht mehr auszurechnen. zeig einfach, daß (0,0) wirklich das neutrale Element ist, indem Du e szu einem beliebigen Zahlenpaar addierst.
> > Dann überlege Dir, was da Inverse leisten muß und
> berechne
> > es Dir ähnlich wie oben.
>
> hier würd ich sagen das das neutrale (1,1) ist, aber das
> ist sicher auch falsch,oder?
Das kannst Du doch leicht herausfinden. Multipliziere Es nach obiger Vorschrift mit einem beliebigen v. (0,0) verschiednen Zahlenpaar, und guck, ob das Richtige herauskommt.
Falls nicht berechne es Dir aus [mm] (x,y)*(e_1,e_2)=(x,y). [/mm]
>
> >
> > Schreib Dir das Distributivgesetz erstmal auf und beachte,
> > daß Deine Elemente Zahlenpaare sind und die Verknüpfungen
> > die oben definierten.
> > Dann rechne die rechte Seite aus und die linke und guck
> > nach, ob sie gleich sind.
>
> also das Distributivgesetz lautet ja:
> a(b+c)=ab+ac
>
> heißt das jetzt für meine aufgabe, dass ich
> [mm](a_1,a_2)*((b_1,b_2)+(c_1,c_2))[/mm] rechnen muss?
Ja, das wäre die linke Seite.
Nun rechne mal los!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 So 18.11.2007 | | Autor: | IsaS. |
Ersteinmal noch einmal einen großen dank, dass du mir wieder geantwortet hast. du bist mir echt eine riesige hilfe, auch wenn ich glaube, dass du langsam an mir verzweifelst.
ich würde gerne erst nocheinmal zusammenfassen, damit ich sehe ob ich es bis hierher richtig verstanden habe.
zur addition:
neutrales element: (0,0)
inverses element: [mm] (-a_1,-a_2) [/mm] oder?
zur multiplikation:
neutrales element: (1,1)
inverses element: [mm] (1/a_1,1/a_2) [/mm] ???
und nun zum ditributivgesetz:
also ich muss nachweisen, dass
[mm] (a_1,a_2)*((b_1,b_2)+(c_1,c_2)= (a_1,a_2)(b_1,b_2)+(a_1,a_2)(c_1,c_2)
[/mm]
ist.
beim beweis komm ich aber nicht wirklich weiter:
[mm] (a_1,a_2)*((b_1,b_2)+(c_1,c_2)
[/mm]
= [mm] (a_1(b_1+c_1)+(a_2(b_2+c_2)),(a_2(b_1+c_1))+(a_1(b_2+c_2))
[/mm]
= [mm] (a_1b_1+a_1c_1+a_2b_2+a_2c_2),(a_2b_1+a_2c_1+a_1b_2+a_1c_2)
[/mm]
und hier komm ich nicht weiter, daher hab ich einfach mal versucht mit der rechten seite entgegen zu kommen:
[mm] (a_1,a_2)(b_1,b_2)+(a_1,a_2)(c_1,c_2)
[/mm]
= [mm] (a_1b_1)+(a_1b_2)+(a_2b_1)+(a_2,b_2)+(a_1c_1)+(a_1c_2)+(a_2c_1)+(a_2c_2)
[/mm]
ich seh zwar jetzt, das die paare übereinstimmen, aerb ich weis nciht wie ich das ganze jetzt zusammen bekomme, so dass der beweis vollständig wird.
wäre echt super wenn ich hier nochmal hilfe bekäme.
danke im voraus
LG isa
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Hallo,
> zur addition:
> neutrales element: (0,0)
> inverses element
zu [mm] (a_1, a_2) [/mm] :
> [mm](-a_1,-a_2)[/mm] oder?
Ja.
>
> zur multiplikation:
> neutrales element: (1,1)
Kannst Du das mal vorrechnen? Was ergibt (a,b)*(1,1) ?
>
> und nun zum ditributivgesetz:
>
> also ich muss nachweisen, dass
> [mm](a_1,a_2)*((b_1,b_2)+(c_1,c_2)= (a_1,a_2)(b_1,b_2)+(a_1,a_2)(c_1,c_2)[/mm]
>
> ist.
>
> beim beweis komm ich aber nicht wirklich weiter:
Die Multiplikation war doch so definiert:
$ [mm] (a,b)\cdot{}(c,d):=(ac-\overline{b}d,bc+\overline{a}d) [/mm] $
(a,b,c,d $ [mm] \in \IC) [/mm] $
Ich sehe bei Dir unten weder irgendwo ein Minuszeichen noch das Konjugiert- Komplexe, von daher ist es wirklich müßig, daß ich mir das in Einzelheiten anschaue.
> [mm](a_1,a_2)*((b_1,b_2)+(c_1,c_2)[/mm]
> =
> [mm](a_1(b_1+c_1)+(a_2(b_2+c_2)),(a_2(b_1+c_1))+(a_1(b_2+c_2))[/mm]
> =
> [mm](a_1b_1+a_1c_1+a_2b_2+a_2c_2),(a_2b_1+a_2c_1+a_1b_2+a_1c_2)[/mm]
>
> und hier komm ich nicht weiter, daher hab ich einfach mal
> versucht mit der rechten seite entgegen zu kommen:
>
> [mm](a_1,a_2)(b_1,b_2)+(a_1,a_2)(c_1,c_2)[/mm]
> =
> [mm](a_1b_1)+(a_1b_2)+(a_2b_1)+(a_2,b_2)+(a_1c_1)+(a_1c_2)+(a_2c_1)+(a_2c_2)[/mm]
>
> ich seh zwar jetzt, das die paare übereinstimmen, aerb ich
> weis nciht wie ich das ganze jetzt zusammen bekomme, so
> dass der beweis vollständig wird.
>
> wäre echt super wenn ich hier nochmal hilfe bekäme.
Wenn die beiden Seiten gleich sind - sind sie gleich.
Du bräuchtest dann nur noch zu schreiben: also ist [mm] (a_1,a_2)*((b_1,b_2)+(c_1,c_2))=(a_1,a_2)(b_1,b_2)+(a_1,a_2)(c_1,c_2), [/mm] und somit gilt das Distributivgesetz.
Aber wie gesagt: Du mußt das schon mit der richtigen Verknüpfung machen, und nicht mit einer, die Du Dir gerade ausgedacht hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Mo 19.11.2007 | | Autor: | IsaS. |
> >
> > zur multiplikation:
> > neutrales element: (1,1)
>
> Kannst Du das mal vorrechnen? Was ergibt (a,b)*(1,1) ?
>
aber wenn das neutrale nicht (1,1) ist was soll es dann sein? ich komm immer wieder da drauf, egal was ich tue.
stimmt wenigstens das inverses element der multiplikation [mm] (1/a_1,1/a_2)?
[/mm]
> >
> > und nun zum ditributivgesetz:
> >
> > also ich muss nachweisen, dass
> > [mm](a_1,a_2)*((b_1,b_2)+(c_1,c_2)= (a_1,a_2)(b_1,b_2)+(a_1,a_2)(c_1,c_2)[/mm]
>
> >
> > ist.
> >
> > beim beweis komm ich aber nicht wirklich weiter:
>
> Die Multiplikation war doch so definiert:
>
> [mm](a,b)\cdot{}(c,d):=(ac-\overline{b}d,bc+\overline{a}d)[/mm]
> (a,b,c,d [mm]\in \IC)[/mm]
>
> Ich sehe bei Dir unten weder irgendwo ein Minuszeichen noch
> das Konjugiert- Komplexe, von daher ist es wirklich müßig,
> daß ich mir das in Einzelheiten anschaue.
>
sorry, hier hab ich beim abschreiben ausversehen immer + geschrieben. also mein ergebinss bis hierher ist:
[mm] (a_1,a_2)*((b_1,b_2)+(c_1,c_2)
[/mm]
= [mm] (a_1(b_1+c_1)-(a_2(b_2+c_2)),(a_2(b_1+c_1))+(a_1(b_2+c_2))
[/mm]
= [mm] (a_1b_1+a_1c_1-a_2b_2-a_2c_2),(a_2b_1+a_2c_1+a_1b_2+a_1c_2)
[/mm]
und von der anderen seite:
[mm] (a_1,a_2)(b_1,b_2)+(a_1,a_2)(c_1,c_2)
[/mm]
= [mm] ((a_1b_1)-(a_2b_2),(a_2b_1)+(a_1b_2)),((a_1c_1)-(a_2c_2),(a_2c_1)+(a_1c_2))
[/mm]
trotzdem komm ich an der stelle nciht weiter, da ich durch die ganzen kommas nicht weis, wie ich das nun umstellen kann, so das es zusammen passt.
Lg Isa
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> > >
> > > zur multiplikation:
> > > neutrales element: (1,1)
> >
> > Kannst Du das mal vorrechnen? Was ergibt (a,b)*(1,1) ?
> >
>
> aber wenn das neutrale nicht (1,1) ist was soll es dann
> sein?
Da wir hier nicht in einem Rätselclub sind, wirst du es ausrechnen müssen.
Ich meine auch, ich hätte Dir das schon gesagt.
Welches (x,y) löst (a,b)*(x,y)=(a,b) ?
> ich komm immer wieder da drauf, egal was ich tue.
Und das, was Du tust, würde ich gerne sehen.
Was meinst Du denn, warum ich etwas von "vorrechnen" schreibe?
Anders werden wir nicht erfahren, was Du verkehrt machst.
Mit der Information, daß Du "immer wieder" darauf kommst, kann ich absolut nichts anfangen.
>> Was ergibt (a,b)*(1,1)
Was ergibt es denn nun???
Kann (1,1) das neutrale Element sein?
> stimmt wenigstens das inverses element der multiplikation
> [mm](1/a_1,1/a_2)?[/mm]
Solange das neutrale nicht steht, brauchen wir keinen einzigen Gedanken ans Inverse zu verschwenden. Die hängen ja schon irgendwie zusammen...
>
>
> > >
> > > und nun zum ditributivgesetz:
> > >
> > > also ich muss nachweisen, dass
> > > [mm](a_1,a_2)*((b_1,b_2)+(c_1,c_2)= (a_1,a_2)(b_1,b_2)+(a_1,a_2)(c_1,c_2)[/mm]
>
> >
> > >
> > > ist.
> > >
> > > beim beweis komm ich aber nicht wirklich weiter:
> >
> > Die Multiplikation war doch so definiert:
> >
> > [mm](a,b)\cdot{}(c,d):=(ac-\overline{b}d,bc+\overline{a}d)[/mm]
> > (a,b,c,d [mm]\in \IC)[/mm]
> >
> > Ich sehe bei Dir unten weder irgendwo ein Minuszeichen noch
> > das Konjugiert- Komplexe, von daher ist es wirklich müßig,
> > daß ich mir das in Einzelheiten anschaue.
> >
>
> sorry, hier hab ich beim abschreiben ausversehen immer +
> geschrieben. also mein ergebinss bis hierher ist:
Ich sehe nach wie vor nicht die konjugiert komplexen. Bist Du Dir sicher, daß wir über dieselbe Aufgabe reden???
> > Die Multiplikation war doch so definiert:
> >
> > [mm](a,b)\cdot{}(c,d):=(ac-\overline{b}d,bc+\overline{a}d)[/mm]
> > (a,b,c,d [mm]\in \IC)[/mm]
> [mm](a_1,a_2)*((b_1,b_2)+(c_1,c_2)[/mm]
> =
> [mm](a_1(b_1+c_1)-(a_2(b_2+c_2)),(a_2(b_1+c_1))+(a_1(b_2+c_2))[/mm]
> =
> [mm](a_1b_1+a_1c_1-a_2b_2-a_2c_2),(a_2b_1+a_2c_1+a_1b_2+a_1c_2)[/mm]
>
> und von der anderen seite:
>
> [mm](a_1,a_2)(b_1,b_2)+(a_1,a_2)(c_1,c_2)[/mm]
> =
> [mm]((a_1b_1)-(a_2b_2),(a_2b_1)+(a_1b_2)),((a_1c_1)-(a_2c_2),(a_2c_1)+(a_1c_2))[/mm]
Hier hast Du - abgesehen v. den nicht vorhandenen konjugiert komplexen - etwas vermukst: Du hast hier ja ein 4-Tupel ausgerechnet statt ein Zahlenpaar. das liegt daran, daß Du ein Komma statt ein + gesetzt hast.
Gruß v. Angela
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