Quellenfreiheit Vektorfeld < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Funktionen [mm] f=f(r)=f(\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}),
[/mm]
fuer die das Vektorfeld
[mm] \vec{v} [/mm] = f(r) [mm] \vec{r}
[/mm]
quellenfrei ist.
Hinweis : Ueberlegen Sie zunaechst, zu welcher Differentialgleichung fuer f die Forderung der Quellenfreiheit fuehrt. Diese Differentialgleichung ist dann geeignet zu loesen. |
Hallo erstmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hoffentlcih bin ich im richtigen forum gelandet [mm] :\
[/mm]
so zur aufgabe ich bin erstmal davon ausgegangen das [mm] \vec{r} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y\\z} [/mm] ist, da ja r = [mm] |\vec{r}| [/mm] ist.
gesucht ist div [mm] \vec{r} [/mm] = 0 fuer quellenfreiheit
ich wandle als erst einmal die divergenz um
div (f [mm] \vec{r}) [/mm] = f div [mm] \vec{r} [/mm] + (grad f) [mm] \vec{r}
[/mm]
-> div [mm] \vec{r} [/mm] = 3 damit
3 f + (grad f) [mm] \vec{r}
[/mm]
grad f = [mm] \bruch{\vec{r}}{r} [/mm]
-> 3 f + [mm] \vec{r} \bruch{\vec{r}}{r}
[/mm]
und hier haeng ich jetzt da ich auf keine differentialgleichung komme
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Di 04.12.2012 | | Autor: | chrisno |
Hallo,
> ...
> hoffentlcih bin ich im richtigen forum gelandet [mm]:\[/mm]
auch im richtigen Unterforum
> so zur aufgabe ich bin erstmal davon ausgegangen das
> [mm]\vec{r}[/mm] = [mm]\vektor{x \\ y\\z}[/mm] ist, da ja r = [mm]|\vec{r}|[/mm] ist.
> gesucht ist div [mm]\vec{r}[/mm] = 0 fuer quellenfreiheit
> ich wandle als erst einmal die divergenz um
> div (f [mm]\vec{r})[/mm] = f div [mm]\vec{r}[/mm] + (grad f) [mm]\vec{r}[/mm]
> -> div [mm]\vec{r}[/mm] = 3 damit
> 3 f + (grad f) [mm]\vec{r}[/mm]
Bis hier ist das zielführend.
> grad f = [mm]\bruch{\vec{r}}{r}[/mm]
Das glaube ich nicht. f ist ganz allgemein ein Funktion. Nach der Kettenregel muss hier die Ableitung von f auftauchen.
>
> -> 3 f + [mm]\vec{r} \bruch{\vec{r}}{r}[/mm]
Wenn es richtig wäre, dann solltest Du hier auch das Skalarprodukt [mm] $\vec{r} \vec{r}$ [/mm] ausführen.
>
> und hier haeng ich jetzt da ich auf keine
> differentialgleichung komme
Aber mit dem f' und dem ausgerechneten Skalarprodukt wird das schon.
(Ich versuche mein Bestes, aber das ist so lange her .... Betrachte meine Anmerkungen daher mit gesunder Skepsis.)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Di 04.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du denn auf grad [mm] f=\vec{r}/r
[/mm]
es ist ja nicht f=r sondern eine beliebige fkt von r z.Bso sin(r), [mm] e^r, r^n [/mm] oder komplizierter!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Do 06.12.2012 | | Autor: | dingo2000 |
ich glaube ich habe es, einfach mal in andern koordinaten denken
grad f(r) = [mm] \bruch{\delta f}{\delta r} \* \vec{ e_{r}}
[/mm]
und [mm] \vec {e_{r}} [/mm] ist nichts anderes als [mm] \bruch{\vec {r}}{r}
[/mm]
das waere dann
3 f + [mm] \vec{r} \* \bruch{\vec {r}}{r} \* [/mm] f'
-> 3 f + r [mm] \* [/mm] f'
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