Querschnittsfläche von Körpern < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Welche geometrischen Körper haben eine von unten nach oben mit der Höhe linear ansteigende horizontale Querschnittsfläche? |
Welche Formen (z.B. nicht Tetraeder) gibt es, die diese Vorgabe erfüllen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Sa 04.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Höhe sei z, also sollte [mm] z=k*a^2 [/mm] sein, wenn du irgenwelche Flächen, die durch a bestimmt sind als überall ähnliche Gebilde hat, also alle regelm n_Ecke , kreise, usw, wenn die Achnitte mit Ebenen die die z-Achse enthalten [mm] z=ka^2 [/mm] ist.
am einfachsten ein Rotationsparaboloid
Gruss leduart
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> Welche geometrischen Körper haben eine von unten nach oben
> mit der Höhe linear ansteigende horizontale
> Querschnittsfläche?
> Welche Formen (z.B. nicht Tetraeder) gibt es, die diese
> Vorgabe erfüllen?
Hallo Nochniemand,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
es gibt unendlich viele geometrische Körper mit dieser
Eigenschaft, wenn über ihre Formgestaltung nichts
weiteres gesagt wird.
Für die horizontale Querschnittsfläche A(z) in einer
Ebene mit konstantem z-Wert (mit [mm] z\ge0) [/mm] soll also
gelten A(z)=K*z oder allenfalls A(z)=K*z+C mit
positiven Konstanten K (und C).
Als einfache spezielle Fälle kommen mir dabei etwa
prismatische Körper in den Sinn, wobei aber die
z-Achse nicht parallel zu den parallelen Kanten des
Prismas sein soll, sondern senkrecht zu einer "Seiten-
fläche" eines dreiseitigen Prismas oder senkrecht zu
zwei zueinander parallelen Seitenflächen eines Prismas
mit trapezförmiger "Grundfläche". Ich hoffe, du verstehst,
wie ich dies meine ...
Zweitens etwa ein Rotationsparaboloid (Rotation um
die Symmetrieachse der Parabel = z-Achse)
(leider habe ich die Antwort von leduart nicht ganz
verstanden, aber das Rotationsparaboloid wird dort
auch erwähnt)
Natürlich kann man dann, ausgehend von einem
Rotationsparaboloid, etwa die Querschnittsfläche
von einem Kreis zu einer anderen Form abändern
(Quadrat, Vieleck oder andere Figur), aber bei
deren Vergrößerung den linearen Vergrößerungs-
faktor proportional zu [mm] \sqrt{z} [/mm] beibehalten.
Außerdem darf man dann im Sinne des ![[]](/images/popup.gif) Prinzips
von Cavalieri etwa die Querschnittsfläche in der
Ebene [mm] z=z_0 [/mm] um die z-Achse drehen oder senk-
recht dazu verschieben. Wie gesagt: unendlich
viele Variationsmöglichkeiten !
LG Al-Chw.
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