Quotienten konvergenter Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Mi 04.01.2017 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die unterstehenden Folgen konvergieren und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
[mm] \bruch{3n^3 -n+5}{(n+2)(n^2+1)} [/mm] |
Hallo also ich habe die Lösung hier, aber ich verstehe sie nicht.
[mm] \bruch{3n^3 -n+5}{(n+2)(n^2+1)}=\bruch{3n^3 +2n^2 +n +2-(2n^2 +n +2 ) -n+5}{n^3+2n^2+n+2}
[/mm]
[mm] =3+\bruch{-2n^2 -2n+3}{n^3+2n^2+n+2}
[/mm]
Sollte man diese Ergänzung sehen oder ist das einfach nur um die Studenten zu Ärgern ?
Was genau ist hier passiert, wo kommt die 3 und der Zähler her ?
Vielen Dank
Benni
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Mi 04.01.2017 | | Autor: | hippias |
Die Termvereinfachung wurde durchgeführt, um die Grenzwertbestimmung leichter zu machen - die Schritte sind aber sicher nicht notwendig - der Bruch konvergiert gegen $0$, da der Grad des Zählers kleiner als der de Nenners ist. Wichtig ist aber anzumerken, dass Rechenfehler unterlaufen sind.
Es ist [mm] $\frac{3n^3 -n+5}{(n+2)(n^2+1)}= \frac{3n^3 -n+5}{n^3+2n^2+n+2}$. [/mm] Nun ist es Wunsch des Autors so weit es geht zu kürzen. Weil im Zähler [mm] $3n^{3}$ [/mm] als höchste Potenz auftaucht und [mm] $n^{3}$ [/mm] im Zähler, steckt der Zähler $3$ Mal im Nenner. Jedoch: was ist der Rest?
Nun ist [mm] $3(n^3+2n^2+n+2)= 3n^3+6n^2+3n+6$, [/mm] sodass für den Zähler folgt: [mm] $3n^3 [/mm] -n+5= [mm] 3n^3+ 6n^2+3n+6-6n^2-3n-6-n+5= 3(n^3+2n^2+n+2) -6n^2-4n-1$. [/mm] Der Rest ist somit [mm] $-6n^2-4n-1$.
[/mm]
Folglich ist [mm] $\frac{3n^3 -n+5}{n^3+2n^2+n+2}= \frac{3(n^3+2n^2+n+2) -6n^2-4n-1}{n^3+2n^2+n+2}= \frac{3(n^3+2n^2+n+2)}{n^3+2n^2+n+2}- \frac{6n^2+4n+1}{n^3+2n^2+n+2}=3-\frac{6n^2+4n+1}{n^3+2n^2+n+2}$
[/mm]
> Untersuchen Sie, ob die unterstehenden Folgen konvergieren
> und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
>
> [mm]\bruch{3n^3 -n+5}{(n+2)(n^2+1)}[/mm]
> Hallo also ich habe die
> Lösung hier, aber ich verstehe sie nicht.
>
> [mm]\bruch{3n^3 -n+5}{(n+2)(n^2+1)}=\bruch{3n^3 +2n^2 +n +2-(2n^2 +n +2 ) -n+5}{n^3+2n^2+n+2}[/mm]
>
> [mm]=3+\bruch{-2n^2 -2n+3}{n^3+2n^2+n+2}[/mm]
>
> Sollte man diese Ergänzung sehen oder ist das einfach nur
> um die Studenten zu Ärgern ?
>
>
> Was genau ist hier passiert, wo kommt die 3 und der Zähler
> her ?
>
>
> Vielen Dank
> Benni
|
|
|
| |
|
> [mm]\bruch{3n^3 -n+5}{(n+2)(n^2+1)}[/mm]
Wenn du den Quotienten von 2 Polynomen hast, ist die folgende Lösungsstrategie die einfachste und exakteste:
Kürze Zähler und Nenner mit [mm] n^k, [/mm] wobei k die höchste n-Potenz des Nenners ist. (Jeder Summand in Zähler und Nenner wird also dadurch geteilt.)
[mm] \bruch{3n^3 - n + 5}{n^3+2n^2+n+2} =\bruch{3 - \bruch{1}{n^2} + \bruch{5}{n^3}}{1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}+\bruch{2}{n^3}}.
[/mm]
Nun bildest du [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] davon. Durch das Verfahren bekommst du im Nenner immer eine reelle Zahl, der Nenner wird nie 0, und der Zähler kann 0, eine andere Zahl werden oder nach [mm] +\infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] gehen.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3 - \bruch{1}{n^2} + \bruch{5}{n^3}}{1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}+\bruch{2}{n^3}}=\bruch{3- 0 + 0}{1 + 0 + 0 + 0}=3
[/mm]
Weitere Beispiele:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-43 n^3 - n + 5}{12n^3+2n^2+n+2}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-43 - \bruch{1}{n^2} + \bruch{5}{n^3}}{12+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}+\bruch{2}{n^3}}=\bruch{-43- 0 + 0}{12 + 0 + 0 + 0}=- \bruch{43}{12}.
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4n^3 - 5n + 52}{7n^6+9n^2+8}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{4}{n^3} - \bruch{5}{n^5}+\bruch{52}{n^6}}{7+\bruch{9}{n^4}+\bruch{8}{n^6}}=\bruch{0 - 0 + 0}{7+0+0}=0
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-4 n^4 - n + 5}{12n^3+2n^2+n+2}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-4n - \bruch{1}{n^2} + \bruch{5}{n^3}}{12+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}+\bruch{2}{n^3}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-4n- 0 + 0}{12 + 0 + 0 + 0}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-4n}{12}=-\infty
[/mm]
|
|
|
|
