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Forum "Uni-Analysis" - Quotientenkriterium
Quotientenkriterium < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Quotientenkriterium: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:07 Mi 18.05.2005
Autor: Professor

Hallo,

sitzte gerade über alten Klausuraufgaben und hänge wieder mal bei einer fest.

Gegeben sei die Reihe

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n [/mm] * [mm] n^{-3+(-1)^{n}} [/mm]

Die Frage dazu lautet: Begründen Sie warum hier das Quotientenkriterium nicht anwendbar ist.

Welche Voraussetzungen muß eigentlich eine Reihe mitbringen, damit das Quotientenkriterium anwendbar ist?

Gruß

Professor


        
Bezug
Quotientenkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:37 Mi 18.05.2005
Autor: banachella

Hallo!

Im Prinzip kannst du das Quotientenkriterium auf jede Reihe anwenden. Aber oft sind die Voraussetzungen nicht gegeben. Die Aussage ist:
Falls [mm] $\limsup \left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|<1$ [/mm] konvergiert die Reihe absolut.
Falls [mm] $\liminf \left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|>1$ [/mm] divergiert die Reihe.

In deinem Fall besteht  [mm] $\left(\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)$ [/mm] aus zwei Teilfolgen:
1. [mm] $\left|\bruch{(n+1)^{-4}}{n^{-2}}\right|\to [/mm] 0$
2. [mm] $\left|\bruch{(n+1)^{-2}}{n^{-4}}\right|\to \infty$ [/mm]
Also ist [mm] $\limsup \left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|=\infty$. [/mm] Und [mm] $\liminf \left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|=0$. [/mm] Deshalb kann man das Kriterium nicht anwenden, weil weder [mm] $\liminf>1$ [/mm] noch [mm] $\limsup<1$. [/mm]

Gruß, banachella


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