Quotientenkriterium - Bsp < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Do 21.03.2013 | | Autor: | Paivren |
Mahlzeit,
kann mir wer sagen, ob das so richtig ist?
Ich soll mit dem Quotientenkriterium zeigen, für welche reelle x die Reihe konvergiert.
[mm] \summe_{n-1}^{\infty}nx^{n}
[/mm]
Quotientenkriterium:
[mm] \bruch{|(n+1)x^{n+1}|}{|nx^{n}|} [/mm] = [mm] \bruch{|(n+1)x|}{|n|} [/mm] > 1 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] wenn [mm] |x|\ge [/mm] 1
Reihe divergiert also für jene x.
Sei |x| < 1.
[mm] \bruch{|(n+1)x|}{|n|} [/mm] = [mm] \bruch{|nx+x|}{|n|} \le \bruch{|nx|}{n} [/mm] + [mm] \bruch{|x|}{n} [/mm] = |x| + [mm] \bruch{|x|}{n}
[/mm]
Sei 0<q<1.
[mm] \bruch{|x|}{n} [/mm] ist Nullfolge und damit <q für fast alle n.
Da |x|<1 und da [mm] \bruch{|x|}{n} [/mm] beliebig klein wird, gibt es zu jedem x mit |x|<1 ein q mit |x| + [mm] \bruch{|x|}{n}
Also konvergiert die Reihe für alle x mit |x|< 1.
Ist die Argumentation richtig, bzw würde man dafür Punkte bekommen?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Do 21.03.2013 | | Autor: | Paivren |
Hallo Schachuzipus,
ok, du hast einen Einzeiler draus gemacht, bin aber froh, dass meine Argumentation inhaltlich korrekt ist.
Vielen Dank für deine Antwort!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 Sa 23.03.2013 | | Autor: | Helbig |
> Mahlzeit,
>
> kann mir wer sagen, ob das so richtig ist?
> Ich soll mit dem Quotientenkriterium zeigen, für welche
> reelle x die Reihe konvergiert.
>
> [mm]\summe_{n-1}^{\infty}nx^{n}[/mm]
>
> Quotientenkriterium:
> [mm]\bruch{|(n+1)x^{n+1}|}{|nx^{n}|}[/mm] = [mm]\bruch{|(n+1)x|}{|n|}[/mm] >
> 1 [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN,[/mm] wenn [mm]|x|\ge[/mm] 1
>
> Reihe divergiert also für jene x.
>
> Sei |x| < 1.
> [mm]\bruch{|(n+1)x|}{|n|}[/mm] = [mm]\bruch{|nx+x|}{|n|} \le \bruch{|nx|}{n}[/mm]
> + [mm]\bruch{|x|}{n}[/mm] = |x| + [mm]\bruch{|x|}{n}[/mm]
>
> Sei 0<q<1.
> [mm]\bruch{|x|}{n}[/mm] ist Nullfolge und damit <q für fast alle n.
Die letzten beiden Zeilen sind völlig überflüssig. Lasse sie lieber weg! Deine Lösung wird schwer verständlich, weil Du unten nochmal die Variable q einführst, diesmal allerdings als Teil eines korrekten Arguments.
Grüße,
Wolfgang
> Da |x|<1 und da [mm]\bruch{|x|}{n}[/mm] beliebig klein wird, gibt
> es zu jedem x mit |x|<1 ein q mit |x| + [mm]\bruch{|x|}{n}
> für fast alle n.
>
> Also konvergiert die Reihe für alle x mit |x|< 1.
>
>
> Ist die Argumentation richtig, bzw würde man dafür Punkte
> bekommen?
>
> Gruß
>
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