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| Aufgabe | | Es sei V ein K-Vektorraum mit der Basis v1,...,vn und U [mm] \subset [/mm] V der von v1 + ... + vn erzeugte Unterraum. Bestimme die Basis des Quotientenraums V/U. |
Hallo
wie bestimme ich denn ganz allgemein die Basis eines Quotientenraums? und wie bestimme ich sie hier
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> Es sei V ein K-Vektorraum mit der Basis v1,...,vn und U
> [mm]\subset[/mm] V der von v1 + ... + vn erzeugte Unterraum.
> Bestimme die Basis des Quotientenraums V/U.
> Hallo
> wie bestimme ich denn ganz allgemein die Basis eines
> Quotientenraums? und wie bestimme ich sie hier
Hallo,
was ein Quotientenraum ist, hast Du verstanden? Ich gehe davon aus.
Es ist der Vektor [mm] v_1+...+v_n [/mm] also eine Basis von U.
Kannst Du sie zu einer Basis von V ergänzen?
Überlege Dir nun, was die ergänzenden Vektoren mit der Basis von V/U zu tun haben...
Gruß v. Angela
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Danke für den tip;
also ich hoffe ich hab des richtig verstanden;
also die Vektoren v1+...+vn bilden basis zu U
ist dann Basis von V v1+...+vn+vn+1?
dann würde daraus folgen dass V/U = vn+1
stimmt das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:55 So 26.04.2009 | | Autor: | fdk89 |
Hi, anscheinend besuchen wir beide die gleiche Vorlesung beim Barth.
Ich bin selbst etwas irritiert, weil es für diese Aufgabe doch 4 Punkte gibt. In der Angabe steht ja quasi, dass V und U die gleiche Basis haben (span(U)=span(V)), wenn ich mich nicht irre. Dass müsste ja heißen, dass am Ende im Quotientenraum nur noch der Nullvektor übrig bleibt, oder?
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ja eigtl scho aber für vier punkt? is des ned a weng billig?
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> Hi, anscheinend besuchen wir beide die gleiche Vorlesung
> beim Barth.
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> Ich bin selbst etwas irritiert, weil es für diese Aufgabe
> doch 4 Punkte gibt. In der Angabe steht ja quasi, dass V
> und U die gleiche Basis haben (span(U)=span(V)),
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wenn das so ist, bearbeitet chrissie2709 eine andere Aufgabe als Du.
Bei ihr hat V die Dimension n und U die Dimension 1.
> wenn ich
> mich nicht irre. Dass müsste ja heißen, dass am Ende im
> Quotientenraum nur noch der Nullvektor übrig bleibt, oder?
Wenn die Situation so ist, wie von Dir geschildert, dann ist U=V das einzige Element in V/U, und Dein VR ist nulldimensional.
Gruß v. Angela
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> Danke für den tip;
> also ich hoffe ich hab des richtig verstanden;
> also die Vektoren v1+...+vn bilden basis zu U
Hallo,
lt. dem von Dir geposteten Aufgabentext ist das der Fall.
> ist dann Basis von V v1+...+vn+vn+1?
Was meinst Du damit? Was soll [mm] v_{n+1} [/mm] sein?
Eine Basis von V ist doch in dern Aufgabentext angegeben. Nämlich?
Dem kannst Du entnehmen, daß V die Dimension n hat. Also wird doch wohl kaum der eine Vektor [mm] v_1+...+v_n+_{n+1} [/mm] eine Basis sein, oder?
> dann würde daraus folgen dass V/U = [mm] v_{n+1}
[/mm]
> stimmt das?
Nein, das stimmt überhaupt nicht. Was sind denn die Elemente von V / U? Das sind doch keine Elemente von V, also kann [mm] v_{n+1}\in [/mm] V kaum eine Bais von V/U sein - und was [mm] v_{n+1} [/mm] sein soll, ist ja außerdem ungeklärt.
Gruß v. Angela
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aber wenn span(V) = span von (U) ist, bleibt doch dann nur noch der nullvektor übrig oder?
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> aber wenn span(V) = span von (U) ist, bleibt doch dann nur
> noch der nullvektor übrig oder?
Hallo,
die von Dir gepostete Aufgabenstellung ist aber völlig anders...
Wenn U=V, dann ist [mm] V/UV/V=\{V\}, [/mm] also ein nulldimensionaler VR.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 So 26.04.2009 | | Autor: | fdk89 |
Ah, ok! Danke Angela! Ich muss wohl nach den Semesterferien wieder richtig reinkommen (Hab mir die Aufgabenstellung nicht gescheit durchgelesen).
Die Dimension von U ist 1 weil beim Lösen des Gleichungssytem genau ein Vektor als Lösung rauskommt. D.h., dass der Quotientenraum die Dimension n-1 haben muss. Also n-1 Basisvektoren.
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> Ah, ok! Danke Angela! Ich muss wohl nach den Semesterferien
Hallo,
vorlesungsfreie Zeit...
> wieder richtig reinkommen (Hab mir die Aufgabenstellung
> nicht gescheit durchgelesen).
> Die Dimension von U ist 1 weil beim Lösen des
> Gleichungssytem genau ein Vektor als Lösung rauskommt.
> D.h., dass der Quotientenraum die Dimension n-1 haben muss.
> Also n-1 Basisvektoren.
Genau.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Mo 27.04.2009 | | Autor: | muesmues |
also ich habe etz eine basis der dimension n-1 ? und das sind die ersten n-1 glieder von v1+...+vn ? oder wie?
irgendwie find ich die aufgabe komisch...ich hab die gleiche wie fdk89
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Mo 27.04.2009 | | Autor: | fdk89 |
Ich habe das jetzt folgendermaßen gelöst. Die Lösung des aufgespannten Untervektorraums habe ich x genannt. Dieser Vektor stellt quasi eine nx1- Matrix. Zu diesem Vektor ergänze ich so viele Vektoren hinzu (das müssten dann n-1 sein), dass ich wieder eine Basis von V habe. Damit ich dann nun eine Basis von V/U erhalte, muss ich ich nur noch den Vektor x weglassen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:04 Mo 27.04.2009 | | Autor: | muesmues |
also ich hab etz X = (v1, v2, ..., vn) ???? nee oder?
wie komm ich auf die nx1-matrix? wie soll dass denn gehen? hä? ich verstehs einfach nicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Mo 27.04.2009 | | Autor: | fdk89 |
Ich glaube, dass ich mich etwas falsch (bzw. umständlich) ausgedrückt habe. Die Basis von U ist X. Diese Basis musst du so lange ergänzen bist du wieder eine Basis hast die den Vektorraum V beschreibt. Wenn du dann den Vektor x wieder weglässt, hast du die Basis des Quotientenraums. Ich glaube, dass das nicht mehr viel mit den Vektoren v1 bis vn zu tun hat.
Ich hoffe mal, dass das so geht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 27.04.2009 | | Autor: | muesmues |
und mit was ergänz ich des? gib mir mal bitte ine beispiel vielleicht komm ich dann drauf.
hast du die anderen aufgaben schon?
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> also ich habe etz eine basis der dimension n-1 ? und das
> sind die ersten n-1 glieder von v1+...+vn ? oder wie?
Hallo,
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Die ersten n-1 Glieder - wie meinst Du das?
Es wird U aufgespannt von dem einen Vektor v= [mm] v_1+...+v_n.
[/mm]
Du kannst Dir nun überlegen, daß [mm] (v_1, [/mm] ..., [mm] v_{n-1}, [/mm] v) eine Basis von V sind. (Ist Dir klar, warum?).
Viele andere ebenso gute Basen wäre denkbar.
V/U enthalt ja Mengen der Gestalt [w]:=w+U mit [mm] w\in [/mm] V.
Folglich haben die Basisvektoren ebendiese Gestalt.
Versuche jetzt zu zeigen, daß die Äquivalenzklassen [mm] ([v_1], [/mm] ..., [mm] [v_{n-1}] [/mm] ) linear unabhängig sind und V/U erzeugen.
Wenn Dir der Satz, daß dim V/U= dim V - dim U ist, zur Verfügung steht, kannst Du auf "erzeugen" verzichten.
> irgendwie find ich die aufgabe komisch...
Sie ist nicht komisch: es wird ja lediglich verlangt, eine Basis eines bestimmten Vektorraumes anzugeben, was nicht sehr originell ist.
Allerdings sind zu Beginn für die viele diese Quotientenräume irgendwo zwischen unheimlich und unverständlich angesiedelt, und deshalb kommt dann ein "komisch"-Gefühl auf.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Mo 27.04.2009 | | Autor: | fdk89 |
Hmmm... also ich poste hier mal 'nen LInk zu einem anderen Forum. Vielleicht hilft dir das Weiter. Wenn nicht, ich bin morgen um neun schon im mathematischen Institut und kann es dir dann erklären. Aber bis dahin wird hier jemand bestimmt noch antworten.
http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=49219&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Fsearch%3Fhl%3Dde%26q%3Dbasis%2Bdes%2Bquotientenraums%2B%26btnG%3DSuche%26meta%3D
Ein weiteres Beispiel, wie man Vektoren zu einer Basis von einem Raum ergänzt, wäre die Aufgabe 1.61 aus dem ersten Semester.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Mo 27.04.2009 | | Autor: | muesmues |
ah ach so...etz...ich war voll auf der leitung...danke. können morgen trotzdem mal über mathe quatschen. falls mei zug rechtzeitig da is.
grüße
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Erlangen, oder? Schau mal hier ein Versuch von mir, der noch nicht beantwortet wurde:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=391146
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Mo 27.04.2009 | | Autor: | fdk89 |
Ich bin ja nicht so der Hit in LA, weil Analysis meine Stärke ist, aber nichtsdestotrotz denke ich, dass deine Lösung richtig. Ich habe das ein bisschen anders gemacht, aber deine Lösung sieht professioneller aus.
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