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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Di 30.11.2010 | | Autor: | Zetapi |
| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und U ein Unterraum von V . Wir
de finieren:
x + U := [mm] \left\{ x + u I u\in U\right\} [/mm] (Nebenklassen von U)
V/U := [mm] \left\{ x + U I x\in V\right\}
[/mm]
Jedes [mm] r\in [/mm] x+U ist ein Repräsentant von x+U, da dann natürlich gilt r+U = x+U. Für V/U werden Verknüpfungen definiert durch:
(x + U)+(y + U):=(x + y)+U,
[mm] \alpha\in [/mm] K : [mm] \alpha [/mm] *(x + [mm] U):=\alpha [/mm] x + U
Zeigen Sie, dass V/U wieder ein Vektorraum über K ist. V/U heißt Quotientenraum von V nach U.
Achtung: Man muss auch zeigen, dass die Verknüpfungen in V/U wohlde niert
sind, d.h. es ist zu zeigen, dass die Operationen in V/U nicht von den gewählten Repräsentanten abhängen. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1265413#post1265413
Nun ich hab heute von der Profin erfahren, dass wir die Aufgaben lösen können ohne wissen zu müssen, was diese Begriffe (Nebenklassen, Repräsentanten, Quotientenraum) zu bedeuten haben (hatte mich gestern trotzdem etwas schlauer gemacht und weiß ansatzweise was sie bedeuten). Nun in diesem Fall denke ich müssen wir zeigen, dass die Axiome eines Vektorraums erfüllt sind. Außerdem muss die Gruppe mit der Addition als Verknüpfung eine Abelsche Gruppe sein. So weit so richtig?
Nun hier meine Beweisführung:
(x + U)+(y + U):=(x + y)+U Mit dieser Art der Addition muss es sich bei (V/U,+) um eine abelsche Grppe handeln. D.h.:
1. Assoziativität: Sei [mm] x,y,z\in [/mm] V, dann gilt:
((x + U)+(y + U))+(z+U)=(x+y+z)+U=(x+U)+((y+U)+(z+U))
2. Abgeschlossenheit d. Addition: Da x,y [mm] x,y\in [/mm] V ist, so muss auch
(x + U)+(O + U)=(x+y)+U in V sein
3. Neutrales El.: Sei O (Nullvektor) ein El. in V, dann gilt: (x + U)+(O + U)=(x+O)+U=x+U
4. Inverses El.: Sei y=-x in V, dann gilt: (x+U)+(y+U)=(x+U)+(-x+U)=(x-x)+U=O+U
5. Kommutätivität: (x+U)+(y+U)=(x+y)+U=(y+x)+U=(y+U)+(x+U)
Ist das soweit richtig oder muss ich noch die Nebenklassen mit ins Spiel bringen?
Ist V/U eigentlich ein Unterraum von V. Wenn ja könnten wir mit den Unterraumkriterien beweisen, dass V/U auch ein Vektorraum über K ist. Nur mal am Rande, V/U muss doch eine Partition von V sein oder (auch wenn dass jezz weniger hiermit zu tun hat)?
Auf jeden Fall aber müssten wir hiermit ans Ziel kommen:
[mm] \alpha\in [/mm] K : [mm] \alpha [/mm] *(x + [mm] U):=\alpha [/mm] x + U Hiermit müssen alle Axiome eines Vektorraums zu erfüllen sein. Also muss gelten:
1) 1*(x+U)=x+U für [mm] x\in [/mm] V/U, wobei [mm] 1\in [/mm] K
2) (a+b)*(x+U)=(a*x+U)+(b*x+U)
3) a*((x+y)+U)=(a*x+a*y)+U
4) (a*b)*(x+U)=(a*x+U)*(b*x+U)=a*(b*(x+U))
Reicht das so, oder muss ich hier auch die Nebenklassen irgendwie mit einbringen
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> Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und U ein
> Unterraum von V . Wir
> de finieren:
> x + U := [mm]\left\{ x + u I u\in U\right\}[/mm] (Nebenklassen von
> U)
> V/U := [mm]\left\{ x + U I x\in V\right\}[/mm]
> Jedes [mm]r\in[/mm] x+U ist
> ein Repräsentant von x+U, da dann natürlich gilt r+U =
> x+U. Für V/U werden Verknüpfungen definiert durch:
> (x + U)+(y + U):=(x + y)+U,
> [mm]\alpha\in[/mm] K : [mm]\alpha[/mm] *(x + [mm]U):=\alpha[/mm] x + U
> Zeigen Sie, dass V/U wieder ein Vektorraum über K ist.
> V/U heißt Quotientenraum von V nach U.
> Achtung: Man muss auch zeigen, dass die Verknüpfungen in
> V/U wohlde niert
> sind, d.h. es ist zu zeigen, dass die Operationen in V/U
> nicht von den gewählten Repräsentanten abhängen.
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1265413#post1265413
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
So ganz ist mir der Sinn des Posts nicht klar: war nicht alles schon im anderen Forum beantwortet?
> Nun in
> diesem Fall denke ich müssen wir zeigen, dass die Axiome
> eines Vektorraums erfüllt sind.
Ja.
> Außerdem muss die Gruppe
> mit der Addition als Verknüpfung eine Abelsche Gruppe
> sein.
Nicht "außerdem".
Diese abelsche Gruppe ist doch Bestandteil der VR-Definition.
> So weit so richtig?
> Nun hier meine Beweisführung:
> (x + U)+(y + U):=(x + y)+U Mit dieser Art der Addition
> muss es sich bei (V/U,+) um eine abelsche Grppe handeln.
Ja.
> D.h.:
> 1. Assoziativität: Sei [mm]x,y,z\in[/mm] V, dann gilt:
> ((x + U)+(y + U))+(z+U)=(x+y+z)+U=(x+U)+((y+U)+(z+U))
Untersscheide immer genau zwischen dem, was zu zeigen ist und dem Beweis dafür.
Falls das der Beweis sein soll, fehlen Zwischenschritte.
> 2. Abgeschlossenheit d. Addition: Da x,y [mm]x,y\in[/mm] V ist, so
> muss auch
> (x + U)+(y + U)=(x+y)+U in V sein
Das ergibt sich ja aus der Def. der Verknüpfung.
> 3. Neutrales El.: Sei O (Nullvektor) ein El. in V,
nicht "ein Element", sondern "das neutrale Element in V".
> dann
> gilt: (x + U)+(O + U)=(x+O)+U=x+UNun ich hab heute von der Profin erfahren, dass wir die
> Aufgaben lösen können ohne wissen zu müssen, was diese
> Begriffe (Nebenklassen, Repräsentanten, Quotientenraum) zu
> bedeuten haben (hatte mich gestern trotzdem etwas schlauer
> gemacht und weiß ansatzweise was sie bedeuten).
also ist 0+U=U das neutrale Element in V/U.
> 4. Inverses El.: Sei x+U [mm] \in [/mm] V/U.
Da [mm] x\in [/mm] V, ist auch -x [mm] \in [/mm] V und es ist
>Sei y=-x in V, dann gilt:
> (x+U)+(-x+U)=(x-x)+U=O+U
> 5. Kommutätivität:
> (x+U)+(y+U)=(x+y)+U=(y+x)+U
Begründung?
> =(y+U)+(x+U)
>
> Ist das soweit richtig oder muss ich noch die Nebenklassen
> mit ins Spiel bringen?
Das ist weitgehend richtig, allerdings nur ein Teil dessen, was gezeigt werden muß, aber ich denke, das ist Dir klar.
--- Achso, unten geht es ja noch weiter!
> Ist V/U eigentlich ein Unterraum von V.
Nein. Sonst müßte es ja eine Teilmenge von V sein.
Achtung: in V/U sind keine Elemente von V, sondern Menge, die Elemente von V enthalten!
>Nur mal am Rande, V/U muss doch
> eine Partition von V sein oder (auch wenn dass jezz weniger
> hiermit zu tun hat)?
Ja.
> Auf jeden Fall aber müssten wir hiermit ans Ziel kommen:
> [mm]\alpha\in[/mm] K : [mm]\alpha[/mm] *(x + [mm]U):=\alpha[/mm] x + U Hiermit
> müssen alle Axiome eines Vektorraums zu erfüllen sein.
> Also muss gelten:
> 1) 1*(x+U)=x+U für [mm]x\in[/mm] V/U, wobei [mm]1\in[/mm] K
> 2) (a+b)*(x+U)=(a*x+U)+(b*x+U)
> 3) a*((x+y)+U)=(a*x+a*y)+U
> 4) (a*b)*(x+U)=(a*x+U)*(b*x+U)=a*(b*(x+U))
Mir ist hier schon wieder nicht klar, ob das die zu zeigenden Behauptungen, die Beweise oder ein Mischmasch aus beidem sein soll.
In 2) müßtest Du ja zeigen, daß
(a+b)*(x+U)= a*(x+U)+b*(x+U)
gilt.
> Reicht das so, oder muss ich hier auch die Nebenklassen
> irgendwie mit einbringen
Du bringst sie doch die ganze Zeit mit ein. x+U ist doch eine Nebenklasse.(?)
Aufmerksamkeit solltest Du dem Hinweis schenken, daß die Wohldefiniertheit der Verknüpfungen zu zeigen ist - sinnigerweise geschieht dies vor den nachweis der Axiome.
Stell Dir vor, Du findest heraus, daß sie nicht wohldefiniert sind: dann wäre alle Arbeit umsonst gewesen.
Gruß v. Angela
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