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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 So 12.08.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Skript: Für einen Teilraum W eines Vektorraum V gilt V/W = [mm] \{0\}genau [/mm] dann wenn V=W
Es gilt stets [mm] V/\{0\} [/mm] = V |
Servus,
Die zwei Sachen verstehe ich nicht ganz.
V/W = [mm] \{0\}
[/mm]
v ~ v' <=> v' - v [mm] \in [/mm] W
LG
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Hallo!
> Skript: Für einen Teilraum W eines Vektorraum V gilt V/W =
> [mm]\{0\}genau[/mm] dann wenn V=W
> Es gilt stets [mm]V/\{0\}[/mm] = V
>
> Servus,
> Die zwei Sachen verstehe ich nicht ganz.
>
> V/W = [mm]\{0\}[/mm]
>
> v ~ v' <=> v' - v [mm]\in[/mm] W
>
>
> LG
>
>
>
Was verstehst du denn nicht? Warum das so ist?
1) Sei V/W=0
Dann gilt für jedes v und w in V:
v [mm] \equiv [/mm] w mod W
also v-w [mm] \in [/mm] W
inbesondere v-0=v [mm] \in [/mm] W für jedes v in V
Damit V=W
2) Sei V=W. Dann ist jedes v [mm] \in [/mm] V auch in W
also v [mm] \equiv [/mm] 0 mod W, also V/W=0
3) Für zwei Vektoren [mm] v,w\in [/mm] V gilt:
v [mm] \equiv [/mm] w mod 0 [mm] \gdw [/mm] v-w=0 [mm] \gdw [/mm] v=w
[mm] \Rightarrow [/mm] V/0=V
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Fr 17.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo, danke für die Antwort
Ich habe eine Frage dazu.
> Hallo!
>
> > Skript: Für einen Teilraum W eines Vektorraum V gilt V/W =
> > [mm]\{0\}genau[/mm] dann wenn V=W
> > Es gilt stets [mm]V/\{0\}[/mm] = V
> >
> > Servus,
> > Die zwei Sachen verstehe ich nicht ganz.
> >
> > V/W = [mm]\{0\}[/mm]
> >
> > v ~ v' <=> v' - v [mm]\in[/mm] W
> >
> >
> > LG
> >
> >
> >
> Was verstehst du denn nicht? Warum das so ist?
> 1) Sei V/W=0
> Dann gilt für jedes v und w in V:
> v [mm]\equiv[/mm] w mod W
> also v-w [mm]\in[/mm] W
> inbesondere v-0=v [mm]\in[/mm] W für jedes v in V
Wieso ist v [mm] \in [/mm] W?
> Damit V=W
> 2) Sei V=W. Dann ist jedes v [mm]\in[/mm] V auch in W
> also v [mm]\equiv[/mm] 0 mod W, also V/W=0
>
> 3) Für zwei Vektoren [mm]v,w\in[/mm] V gilt:
> v [mm]\equiv[/mm] w mod 0 [mm]\gdw[/mm] v-w=0 [mm]\gdw[/mm] v=w
> [mm]\Rightarrow[/mm] V/0=V
>
> LG
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Fr 17.08.2012 | | Autor: | fred97 |
Allgemein: die Elemente von V/W bezeichne ich mit [x] (x [mm] \in [/mm] V), also [mm] [x]=\{x+w: w \in W\}.
[/mm]
Es gilt: [x]=[y] [mm] \gdw [/mm] x-y [mm] \in [/mm] W
Wir haben: V/W={ [0] }. Wir wollen: V=W
W [mm] \subseteq [/mm] V ist klar.
Sei also v [mm] \in [/mm] V. Wegen V/W={ [0] } ist [v]= [0], also ist v-0 [mm] \in [/mm] W, somit v [mm] \in [/mm] W.
Daher: V [mm] \subseteq [/mm] W.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Fr 17.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Danke,
Hammer gut erklärt ;)
LG
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