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| Aufgabe | Ein zur y-achse symmetrisches dreieck hat den ursprung 0 als eine ecke. die beiden weiteren ecken p1 und p2 liegen auf dem schaubild von f mit [mm] f(x)=\bruch{1}{1+x^2}.
[/mm]
für welche lage von p1 ist der flächeninhalt des dreiecks extremal?
um welche art von extremum handelt es sich dabei? |
Hallo,
wiedereinmal komm ich nicht weiter =/.
also wir suchen 2 punkte die möglichst weit auseinander sind.
flächeninhalt vom dreieck ist 1/2gh
die höhe haben wir gegeben durch die funktion. (ich hab eine skizze davon in meinem heft. oder einfach in den taschenrechner eingeben)
die funktion hat ein maximum bei 1
also haben wir schonmal 1/2g*1
g soll extremal werden nehm ich an.
also f(g)=1/2*g f'(g)= 1/2...g=1/2...y= 1/4
P1= (1/2;1/4)
kann das sein?
um welche art von extremum sich das handeln könnte hab ich keine ahnung..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Mi 13.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Ein zur y-achse symmetrisches dreieck hat den ursprung 0
> als eine ecke. die beiden weiteren ecken p1 und p2 liegen
> auf dem schaubild von f mit [mm]f(x)=\bruch{1}{1+x^2}.[/mm]
>
> für welche lage von p1 ist der flächeninhalt des dreiecks
> extremal?
> um welche art von extremum handelt es sich dabei?
> Hallo,
>
> wiedereinmal komm ich nicht weiter =/.
>
> also wir suchen 2 punkte die möglichst weit auseinander
> sind.
Nein. Warum denn auch ? Unendlich weit auseinander ?
>
> flächeninhalt vom dreieck ist 1/2gh
Damit es bei kompliziertere Termen nicht zu Unklarheiten kommt :
Schreibe besser (1/2)*gh oder benutze den Formeleditor.
(könnte sonst als 1/(2gh) gelesen werden)
>
> die höhe haben wir gegeben durch die funktion. (ich hab
> eine skizze davon in meinem heft. oder einfach in den
> taschenrechner eingeben)
> die funktion hat ein maximum bei 1
>
> also haben wir schonmal 1/2g*1
>
Nein! Du suchst doch ein Maximum der Dreiecksfläche, nicht das Maximum von h. Beachte, das g und h zusammenhängen : je größer h wird, desto kleiner wird g (und umgekehrt). g und h arbeiten in diesem Sinne gegeneinander, aber beide beeinflussen sie die Dreiecksfläche.
Es ist der optimale Zustand gesucht, bei welchem g und h so ausbalanciert sind, dass sie zusammen den größtmöglichen Flächeninhalt erzeugen.
> g soll extremal werden nehm ich an.
>
Nein! (s.o.)
> also f(g)=1/2*g f'(g)= 1/2...g=1/2...y= 1/4
>
> P1= (1/2;1/4)
>
> kann das sein?
>
> um welche art von extremum sich das handeln könnte hab ich
> keine ahnung..
Nenne [mm] P_1 [/mm] =(x|y). Dann ist [mm] P_2=(-x|y) [/mm] (warum ?)
Du hast richtig erkannt, dass die Dreieckshöhe y ist. Die Grundseite ist 2x.
Also wird der Flächeninhalt A = [mm] \bruch{1}{2}*(2x)*y [/mm] = x*f(x)
Von dieser Funktion A(X) ist das Maximum gesucht.
Hoffe, das hilft dir.
Gruß Sax.
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also müsste sein:
A(x)= [mm] (1/2)*2x*\bruch{1}{1+x^2} [/mm]
A'(x)= (produktregel?) [mm] \bruch{1}{1+x^2}+x*\bruch{-2x}{(1+x^2)^2}
[/mm]
kann mir erstmal jemand sagen ob das bis hier her richtig ist bevor ich weiterrechne?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Mi 13.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
Ja, ist richtig
Gruß Sax
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okay ich hab dann noch die 2. ableitung ausgerechnet..braucht man ja um zu wissen obs ein extrempunkt ist..aber muss man das überhaupt?
naja ich hab dann die 1. mit 0 gleichgesetzt und hab dann für [mm] x=\wurzel{1/2} [/mm] raus..
und dann müsste y= [mm] (1/2)\wurzel{1/2}*1/(3/2)
[/mm]
und dann hätte ich den punkt...beim anderen punkt eben das minus vor dem x noch wegen der symmetrie..
kann das sein?
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Hallo, leider ist dein x nicht korrekt, du hattest die 1. Ableitung
[mm] f'(x)=\bruch{1}{1+x^2}+x\bruch{-2x}{(1+x^2)^2}
[/mm]
erweitere den 1. Bruch mit [mm] 1+x^2
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1-x^2}{(1+x^2)^2}
[/mm]
[mm] 0=\bruch{1-x^2}{(1+x^2)^2}
[/mm]
die weiteren Schritte überlasse ich dir
Steffi
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halloo
ja ich hatte das genauso gemacht wie du, mit dem erweitern.
aber ich versteh nicht wie du darauf kommst:
$ [mm] f'(x)=\bruch{1-x^2}{(1+x^2)^2} [/mm] $
wo ist bei dir die 2 vor dem [mm] x^2 [/mm] hin?
aber wenn man das so macht kommt für x 1 raus..
und für y dann 1/2
ist das jetzt so richtig?
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Hallo, du hast das Erweitern des 1. Bruches nicht verstanden, das solltest du aber, wenn nicht frage nach, du hast zu berechnen [mm] 1-x^{2}=0 [/mm] somit [mm] x_1_2=\pm1 [/mm] und [mm] y_1_2=0,5, [/mm] Steffi
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hey,
ich hab doch gefragt. lies dir bitte nochmal meine frage davor durch, da hab ich dich gefragt wo du die 2 vom [mm] x^2 [/mm] hingetan hast.
oder kommen manche nachrichten von mir nicht richtig hier ins forum an?
für y1=1/2 aber für y2 müsste -1/2 rauskommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Mi 13.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Phoenix!
> ich hab doch gefragt. lies dir bitte nochmal meine frage
> davor durch, da hab ich dich gefragt wo du die 2 vom [mm]x^2[/mm]
> hingetan hast.
Und das wurde auch geschrieben: durch das Zusammenfassen der beiden Brüche und anschließendes Zusammenfassen im Zähler verschwindet diese 2.
> oder kommen manche nachrichten von mir nicht richtig hier
> ins forum an?
Hm, gilt das vielleicht für die Antworten auch?
> für y1=1/2 aber für y2 müsste -1/2 rauskommen.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Rechne vor ...
Meinst Du die Flächenfunktion oder die Ausgangsfunktion?
Gruß
Loddar
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Hallo,
ja jetzt hab ichs doch verstanden wieso die 2 da nicht mehr ist! danke =)
und ich hab das in die flächenfunktion eingesetzt, aber logischer wäre es in die normal funktion, da wir ja punkte auf der normalfunktion suchen oder?
dann ergibt das auch einen sinn mit y=1/2
nur was genau wollen die wissen, wenns sie nach der art des extremum fragen?
ich bedanke mich aber schonmal herzlich für die geduldige hilfe! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Mi 13.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Phoenix!
> nur was genau wollen die wissen, wenns sie nach der art des
> extremum fragen?
So wie Du oben schon geschrieben hast: den Wert in die 2. Ableitung einsetzen.
Gruß
Loddar
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hey,
da kommt beides mal -0,5 raus. das heißt es ist einfach ein maximum? aber das war doch klar, die wollten doch sowieso von mir ein maximum ausgerechnet haben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Mi 13.10.2010 | | Autor: | abakus |
> hey,
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> da kommt beides mal -0,5 raus. das heißt es ist einfach
> ein maximum? aber das war doch klar, die wollten doch
> sowieso von mir ein maximum ausgerechnet haben.
Du solltest Extrema ausrechnen (das können auch Minima sein).
Für x=0 ist der Flächeninhalt des "entarteten" Dreiecks 0 und damit minimal!
Gruß Abakus
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:23 Mi 13.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Hi,
> Ja, ist richtig
Das ist fast richtig.
Der Flächeninhalt eines Dreiecks (ohne Einheit) ist eine nichtnegative Zahl.
Da für negative x-Koordinaten auch negative Termwerte möglich sind, muss der Betrag gebildet werden.
Gruß Abakus
> Gruß Sax
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