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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:51 Fr 15.07.2011 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | 1. Ableitung bilden von:
[mm]f(x)=\bruch{2-2x^2}{(1+x^2)^2}[/mm] |
Liebe alle,
ich sitze seit gestern an der Ableitung und komme nicht auf das gesuchte Ergebnis.
Ich versuche es mit der Quotientenregel
[mm]f'(x)=\bruch{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} [/mm]
Dann ist:
[mm]u=2-2x^2 [/mm] [mm]u'=-4x [/mm] [mm]v=(1+x^2)^2 [/mm] [mm]v'=4x[/mm]
Also gilt:
[mm]f'(x)=\bruch{-4x \cdot (1+x^2)^2 - (2-2x^2) \cdot 4x}{(1+x^2)^4}[/mm][mm][/mm]
Nun komme ich nicht weiter. Bin aber der Meinung, dass meinerseits bis hierhin schon Fehler gemacht worden sind.
Bitte um kurze Hilfe.
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Hallo Lzaman!
Du hast $v'_$ falsch gebildet. Gemäß  Kettenregel gilt:
$v' \ = \ [mm] 2*\left(1+x^2\right)*2x$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Fr 15.07.2011 | | Autor: | lzaman |
Danke, das ist nachvollziehbar. Nun komme ich auf
[mm]f'(x)=\bruch{-4x \cdot (1+x^2)^2-4x \cdot(1+x^2)}{(1+x^2)^4}[/mm]
Was wäre jetzt der nächste Schritt? Ich komme nämlich auf so unschöne Terme:
[mm]f'(x)=\bruch{-4x^5-12x^3-8x}{(1+x^2)^4}[/mm]
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Hossa :)
Also, du hast gefunden:
[mm] $u=2-2x^2\quad;\quad u^\prime=-4x\quad;\quad v=(1+x^2)^2\quad;\quad v^\prime=2(1+x^2)\cdot [/mm] 2x$
Die Quotientenregel zusammen geschraubt ergibt dann:
[mm] $f^\prime(x)=\frac{-4x\cdot(1+x^2)^2-(2-2x^2)\cdot2(1+x^2)\cdot 2x}{(1+x^2)^4}$
[/mm]
Bevor man hier irgendwas rechnet, empfieht es sich, den Bruch mit [mm] $(1+x^2)$ [/mm] zu kürzen:
[mm] $f^\prime(x)=\frac{-4x\cdot(1+x^2)-(2-2x^2)\cdot2\cdot 2x}{(1+x^2)^3}=\frac{-4x(1+x^2)-8x(1-x^2)}{(1+x^2)^3}=\frac{-4x-4x^3-8x+8x^3}{(1+x^2)^3}=\frac{4x^3-12x}{(1+x^2)^3}=\frac{4x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}$
[/mm]
Viele Grüße
Hasenfuss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 Fr 15.07.2011 | | Autor: | lzaman |
Danke das wars schon. Wäre ohne eure Hilfe noch 2 Tage dran.
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