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| Aufgabe | Seien R ein kommutativer Ring und [mm] I\subset [/mm] R mit [mm] I\not= [/mm] R ein Ideal.
Zeige: I maximal [mm] \gdw [/mm] R/I ist Körper |
Endliche Integritätsbereiche sind ja Körper...
Daher meine Frage: Ist R/I endlich und nullteilerfrei? Wenn ja, wie zeig ich das? Und wenn nicht: Wie zeig ich sonst, dass das nen Körper ist?
Und wie zeig ich die Gegenrichtung? Hat das irgendwas mit der Existenz multiplikativer Inverser zu tun? Kann ich daraus schließen, dass I maximal sein muss?
Sei R/I ein Körper.
[mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] R [mm] \backslash [/mm] [0] [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] R mit [mm] (a*b-1)\in [/mm] I da ja alle Nichtnullelemente invertierbar sind.
Kann ich aus hieraus nun irgendwie die Maximalität schließen???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Do 22.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien R ein kommutativer Ring und [mm]I\subset[/mm] R mit [mm]I\not=[/mm] R
> ein Ideal.
>
> Zeige: I maximal [mm]\gdw[/mm] R/I ist Körper
>
> Endliche Integritätsbereiche sind ja Körper...
Ja, aber das hat nicht viel mit der Aufgabe zu tun, denn:
> Daher meine Frage: Ist R/I endlich und nullteilerfrei?
Warum sollte $R/I$ endlich sein?
> Wenn ja, wie zeig ich das? Und wenn nicht: Wie zeig ich
> sonst, dass das nen Körper ist?
Naja: erstmal ist $R/I$ ein kommutativer Ring.
Kannst du etwas ueber die Ideale in $R/I$ sagen? (Ein kommutativer Ring ist genau dann ein Koerper, wenn [mm] $\{ 0 \}$ [/mm] ein maximales Ideal ist -- kennst du diese Aussage?)
LG Felix
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