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Hallo zusammen!
Ich wollte anfragen ob ihr mir bei folgendem Problem weiterhelfen könnt:
Gegeben eine Algebra
[mm] \begin{equation} \nonumber
A=\mathbb K \left[x_{1},...,x_{n}\right]/I
\end{equation} [/mm] , wobei $I$ ein Ideal ist
und folgende Abbildung, für ein [mm] $f\in \mathbb K\left[x_{1},...,x_{n}\right]$:
[/mm]
[mm] $m_{f}$: $A\rightarrow [/mm] A$ mit
[mm] \begin{equation} \nonumber
m_{f}\left(\left[g\right]\right)=\left[f\right]\cdot\left[g\right]=\left[fg\right]\in A~~~~~\textrm {für} \left[g\right]~\in~A
\end{equation}
[/mm]
[mm] $M_{f}$ [/mm] sei die zugehörige Abbildungsmatrix.
Dann haben wir folgende Abbildung definiert :
[mm] $\mathbb K\left[u\right]\rightarrow [/mm] A$ mit [mm] $P\left(u\right)\mapsto \left[P\left(f\right)\right]$
[/mm]
und bewiesen, dass folgender Isomorphismus existiert:
[mm] \begin{equation}\nonumber
\mathbb K\left[u\right]/\left\langle \textrm{CharPoly}_{M_{f}}\left(u\right)\right\rangle\cong A
\end{equation}
[/mm]
Nun zum Problem: Wir können wohl die Äquivalenzklasse [mm] $\left[x_{i}\right]\in [/mm] A$ schreiben als ein Polynom in [mm] $\left[f\right]$ [/mm] ,also
[mm] $\left[x_{i}\right]=P_{i}\left[f\right]$
[/mm]
Dieses [mm] $P_{i}$ [/mm] können wir mit Hilfe einer Gröbnerbasis von $I$ konkret angeben. Ich seh aber leider nicht wie das gehen soll. Und wie der Isomorphismus hilft sehe ich leider auch nicht
Vielleicht könnte mir jemand das an folgendem Beispiel zeigen:
Folgende Quotientenalgebra
[mm] $A=\mathbb K\left[x,y\right]/\left\langle f_{1},f_{2},f_{3}\right\rangle$
[/mm]
mit
[mm] \begin{array}{rcl}
f_{1}&=&x^2+2y^2-2y=0\\
f_{2}&=&xy^2-xy=0\\
f_{3}&=&y^3-2y^2+y=0\\
\end{array}
[/mm]
die eine Gröbnerbasis dartsellen.
Sei z.B. [mm] $x_{i}=y$ [/mm] und $f=2x+3y$
Vielleicht braucht ihr noch mehr Infos, werde regelmäßig reinschauen. Meiner Meinung nach müsste, es über den Ansatz laufen, dass
[mm] $\left[x_{i}\right]=P_{i}\left[f\right] ~~~~\Leftrightarrow~~~~~~~x_{i}-P_{i}\left(f\right)\in [/mm] I$ also
[mm] $\left[y\right]=P_{i}\left[2x+3y\right] ~~~~\Leftrightarrow~~~~~~~y-P_{i}\left(2x+3y\right)\in [/mm] I$
Hoffentlich könnt ihr mir helfen!
Bis bald
Masahiro
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