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Quotientenvektorraum: Tipp | Hilfe
Status: (Question) Waiting for user Status 
Date: 17:37 Di 15/12/2015
Author: livachen

Aufgabe
Mache grade ein wenig Lineare Algebra, und bin dabei auf die folgende Aufgabe gestoßen:


Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und seien U,W ⊆ V Unterräume. Wir betrachten die
Abbildung
qU |W:W −→ VU,v 7−→ [v]=v+U.
Zeigen Sie:
(a) qU |W ist eine lineare Abbildung mit ker(f) =U ∩ W.
(b) qU |W ist genau dann surjektiv, wenn V=U+W.
(c) qU |W ist genau dann ein Isomorphismus, wenn V=U ⊕ W.

zum ersten Teil dieser Aufgabe:

für eine lineare Abbildung muss sowohl die Homogenität als auch die Addition gelten.

In der Vorlesungen haben wir gezeigt, dass für den Wertebereich (den Quotientenvektorraum) "V/U" die Addition und Skalarmultiplikation auf VU wohldefiniert ist..

Nun stockt es bei mir; was müsste ich weiterhin zeigen, bevor ich auf den Kern eingehe?

Auf weitere Tipps und Anregung (sowohl fragebezogen als auch auf die weiteren Aufgaben) würde ich mich stets freuen! :-)


Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt

http://www.onlinemathe.de/forum/Quotientenvektorraum-und-Komplement-des-Unterraums

        
Bezug
Quotientenvektorraum: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:00 Di 15/12/2015
Author: angela.h.b.


> Mache grade ein wenig Lineare Algebra, und bin dabei auf
> die folgende Aufgabe gestoßen:
>  
>
> Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und seien U,W ⊆ V
> Unterräume. Wir betrachten die
>  Abbildung
>  [mm] q_U|_W :W\to [/mm]  V/U,  v [mm] \to [/mm] [v]=v+U.
>  Zeigen Sie:
>  (a) [mm] q_U|_W [/mm] ist eine lineare Abbildung mit ker(f) =U ∩ W.
>  (b) [mm] q_U|_W [/mm] ist genau dann surjektiv, wenn V=U+W.
>  (c) [mm] q_U|_W [/mm] ist genau dann ein Isomorphismus, wenn V=U ⊕ W.
>  zum ersten Teil dieser Aufgabe:
>  
> für eine lineare Abbildung muss sowohl die Homogenität
> als auch die Addition gelten.

Hallo,

ja, Du mußt zeigen, daß für alle [mm] k\in [/mm] K und für alle [mm] w_1, w_2 \in [/mm] W gilt

[mm] q_U(w_1+w_2)=q_U(w_1)+q_U(w_2) [/mm]
und
[mm] q_U(kw_1)=kq_U(w_1). [/mm]


> Nun stockt es bei mir; was müsste ich weiterhin zeigen,
> bevor ich auf den Kern eingehe?

Nichts. Du kannst jetzt gleich damit beginnen, Dir zu überlegen, was der Kern ist:


1. Z.z. [mm] Kern(q_U|_W)\subseteq U\cap [/mm] W:

sei [mm] w\in [/mm] W und [mm] w\in [/mm] Kern [mm] (q_U|_W). [/mm]

dann ist [mm] q_U(w)=0_{V/U}, [/mm]
also ist
w+U=...
==> ...

2. Z.z. [mm] U\cap [/mm] W [mm] \subseteq Kern(q_U|_W) [/mm]

Sei [mm] w\in U\cap [/mm] W ==> ... ... ...

LG Angela



>  
> Auf weitere Tipps und Anregung (sowohl fragebezogen als
> auch auf die weiteren Aufgaben) würde ich mich stets
> freuen! :-)
>  
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt
>  
> http://www.onlinemathe.de/forum/Quotientenvektorraum-und-Komplement-des-Unterraums


Bezug
        
Bezug
Quotientenvektorraum: Rückfrage
Status: (Question) answered Status 
Date: 19:16 Di 15/12/2015
Author: livachen

Aufgabe 1
qU |W:W −→ VU,v 7−→ [v]=v+U

Aufgabe 2
Schaue ich mir nur den Definitionsbereich an, um zu zeigen, dass die Abbildung linear ist?

Homogenität und die Addition sind mir schon bekannt

Bezug
                
Bezug
Quotientenvektorraum: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 19:32 Di 15/12/2015
Author: angela.h.b.


> qU |W:W −→ VU,v 7−→ [v]=v+U
>  Schaue ich mir nur den Definitionsbereich an, um zu
> zeigen, dass die Abbildung linear ist?

Hallo,

ich weiß nicht, ob ich Dich richtig verstehe...

Ja, da die Abbildung auf W definiert ist, zeigst Du die Linearität auf W.

>  Homogenität und die Addition sind mir schon bekannt

Schön.

LG Angela


Bezug
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