R-Integral <=> Klasse L+ < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Jede Riemann-integrierbare Funktion f auf [a,b] gehört zur Klasse L+. |
Hallo!
Ich habe folgenden Beweis im Skriptum, den ich aber nicht ganz verstehe (eventuell hat sich bei mir ein Fehler eingeschlichen)
Ich habe nun eine Funktion f : [a,b] [mm] \mapsto \IR
[/mm]
mit einer von mir gewählten Partition [mm] P_n [/mm] := [mm] \{a = x_0 < x_1 < \ldots < x_{2^n} = b \}
[/mm]
Meine offenen Intervalle sind äquidistant: [mm] I_k [/mm] := ( [mm] x_{k-1}, x_k [/mm] ) wobei [mm] x_k [/mm] - [mm] x_{k-1} [/mm] = [mm] \bruch{b-a}{2^n}
[/mm]
und [mm] m_k [/mm] := [mm] \inf_{I_k} [/mm] f
[mm] \chi_{I_k}(x)= \left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{wenn }x \in I_k \\
0, & \mbox{sonst}
\end{matrix}\right. [/mm]
[mm] \varphi_n [/mm] (x) = [mm] \summe_{k=1}^{n} \chi_{I_k}(x)
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{\varphi_{n}(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{\summe_{k=1}^{n} \chi_{I_k}(x) dx} [/mm] =
weil Treppenfunktion - man darf Summe mit Integral vertauschen
= [mm] \summe_{k=1}^{n} \integral_{a}^{b}{\chi_{I_k}(x) dx} [/mm] =
genau den folgenden Schritt verstehe ich nicht: warum ergibt dies nun genau die Summe der Beträge der Intervalllängen und warum ist dies nun [mm] \le [/mm] 1?
= [mm] \summe_{k=1}^{n} |I_k [/mm] | [mm] \le [/mm] 1
Bisher habe ich nicht verstanden was beweisen wurde
nun der Beweis geht weiter...
[mm] \varphi_n [/mm] (x) = [mm] \summe_{k=1}^{2^n} m_k [/mm] * [mm] \chi_{I_k}(x)
[/mm]
das sieht für mich nun richtiger aus als das obige, da die Treppenfunktion auch so definiert ist.
Sei nun [mm] \varphi_n [/mm] eine austeigende Folge von Treppenfunktionen
[mm] (\varphi_n \uparrow)
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{\varphi_{n}(x) dx} [/mm] = [mm] \underline{S}_P [/mm] (f)
wie komme ich zu dieser Folgerung? Das Integral ist die untere Riemansumme über die Partition ...?
[mm] \integral_{a}^{b}{\varphi_{n}(x) dx} [/mm] = [mm] \underline{S}_P [/mm] (f) [mm] \to_{n\rightarrow\infty} [/mm] R- [mm] \integral_{\bar{a}}^{b}{f(x) dx} [/mm] = R- [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
gut da RiemannIntegrale bei "Ober-" und "Unter-Integral" den selben Wert haben gilt Gleichheit. Aber warum lässt sich das so leicht hinschreiben?
Weiter im Beweis:
noch zu zeigen, dass [mm] \varphi_n \uparrow [/mm] f fast überall auf [a,b]
/Lebesgue Kriterium => Menge der Unstetigen Stellen von f ist Nullmenge /
[mm] \xi \in [/mm] [a,b], f stetig in [mm] \xi [/mm] := [mm] \forall \epsilon \exists \delta_\epsilon \forall [/mm] x [mm] \in U_{\delta_\epsilon}(\xi) [/mm] :
[mm] f(\xi) [/mm] - [mm] \epsilon [/mm] < f(x) < [mm] f(\xi) [/mm] + [mm] \epsilon
[/mm]
gut, hier handelt es sich um die epsilon-delta umgebung für stetigkeit
Wähle n so, dass [mm] \xi \in I_k \in U_{\delta_\epsilon}(\xi) [/mm] =>
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in I_k [/mm] : [mm] f(\xi) [/mm] - [mm] \epsilon [/mm] < f(x) < [mm] f(\xi) [/mm] + [mm] \epsilon
[/mm]
Somit gilt auch:
[mm] f(\xi) [/mm] - [mm] \epsilon \le \varphi_{n} (\xi) [/mm] < [mm] f(\xi) [/mm] + [mm] \epsilon
[/mm]
wegen Infimum eventuell auch [mm] \le
[/mm]
[mm] \varphi_n \uparrow [/mm] => [mm] \forall [/mm] m [mm] \ge [/mm] n : [mm] \varphi_{n} (\xi) \le \varphi_{m} (\xi) \le f(\xi) [/mm] =>
[mm] f(\xi) [/mm] - [mm] \epsilon \le \varphi_{m} (\xi) [/mm] < [mm] f(\xi) [/mm] + [mm] \epsilon [/mm] für alle m [mm] \ge [/mm] n
/ dh [mm] \varphi_{n} (\xi) \to f(\xi) [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] /
=> f [mm] \in L^{+}, \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] bez. [mm] L^{+} [/mm] ist ident mit [mm] R-\integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Nun der letzte Teil des Beweises ist mir nicht so rätselhaft, aber zu der letzten Folgerung komme ich einfach nicht, da ich nicht weiß ob alles im angegeben Beweis stimmt und da ich einige Folgerungen nicht nachvollziehen kann.
Vielen Dank für jeden Input.
lg
Baba
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Mi 21.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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