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R-Module und Hauptideale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:58 Mo 28.06.2004
Autor: Dragon1982

Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.


Hallöchen,

ich hab nun auch mal ein Problem. Kann mir jemand mal ein Tip dazu geben? Ich wäre sehr dankbar.

Sei R ein Hauptidealring V ein monogener R-Modul. Sei U ein Untermodul von V.

a) Zeige: [mm]\Phi_U[/mm] := [mm]\left\{[/mm][mm]r\in\[/mm] R mit [mm]rv\in\[/mm][mm]U \right\}[/mm]  ist ein Ideal und [mm]\Phi_U[/mm]V=U.


b) Zeige: U ist monogen.

Also monogen bedeutet ja, dass ein v existiert, so dass V = Rv

und zu b) wurde mir als Tip gegeben, dass ich verwenden soll, das [mm]v\in\[/mm] V und dass es Tatsache ist, dass R [mm]\supset[/mm] [mm]\Phi_U[/mm] ein Hauptidealring ist.

Gruß Dragon


        
Bezug
R-Module und Hauptideale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 Di 29.06.2004
Autor: Julius

Hallo Dragon!

[willkommenmr]

> Sei R ein Hauptidealring V ein monogener R-Modul. Sei U ein
> Untermodul von V.
>  
> a) Zeige: [mm]\Phi_U[/mm] := [mm]\left\{[/mm][mm]r\in\[/mm] R mit [mm]rv\in\[/mm][mm]U \right\}[/mm]  
> ist ein Ideal und [mm]\Phi_U[/mm]V=U.

[mm] $\Phi_U$ [/mm] ist ein Ideal, denn

1) Es gilt $0 [mm] \in \Phi_U$: [/mm]

$0v = 0  [mm] \in [/mm] U$, da $U$ ein Untermodul von $V$ ist.

2) Sind $r,r' [mm] \in \Phi_u$, [/mm] dann gilt: $rv [mm] \in [/mm] U$ und $r'v [mm] \in [/mm] U$, und damit auch $(r-r')v = rv - r'v [mm] \in [/mm] U$, da $U$ ein Untermodul von $V$ und somit abgeschlossen bezüglich der Addition und Inversenbildung  ist, also auch: $r-r' [mm] \in \Phi_U$. [/mm]

3) Ist $r [mm] \in \Phi_U$, [/mm] also: $rv [mm] \in [/mm] U$, und $r' [mm] \in [/mm] R$, so folgt: $(r'r)v=r'(rv) [mm] \in [/mm] U$, da $U$ ein Untermodul von $V$ und somit abgeschlossen gegenüber der skalaren Multiplikation mit Ringelementen ist.

Es gilt: [mm] $\Phi_U [/mm] V = U$, denn:

Ist $v' [mm] \in \Phi_U [/mm] V$, so gibt es ein $r [mm] \in \Phi_U$ [/mm] mit $v' = rv$. Nach Definition von [mm] $\Phi_U$ [/mm] gilt: $v' [mm] \in [/mm] U$. Ist umgekehrt $u [mm] \in [/mm] U$, so gibt es, da $V$ monogen ist, ein $r [mm] \in [/mm] R$ mit $u=rv$. Nach Definition von [mm] $\Phi_U$ [/mm] folgt: $r [mm] \in \Phi_U$, [/mm] also: $u [mm] \in \Phi_UV$. [/mm]

> b) Zeige: U ist monogen.

Da $R$ ein Hauptidealring ist und [mm] $\Phi_U$ [/mm] ein Ideal in $R$ ist, gibt es ein $r [mm] \in \Phi_U$ [/mm] mit [mm] $\Phi_U=Rr$. [/mm]

Daraus folgt mit Hilfe von a) und wegen $V=Rv$:

[mm] $U=\Phi_U [/mm] V = (Rr)(Rv)= R(rv)$,

mit $u:=rv [mm] \in [/mm] U$, d.h. $U=Ru$ ist monogen.

Liebe Grüße
Julius


Bezug
                
Bezug
R-Module und Hauptideale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:19 Di 29.06.2004
Autor: Dragon1982

Danke!

Das is mir ne echte Hilfe. Cool :-)

Bezug
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