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R^2<-> Analytizität: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:13 So 08.11.2015
Autor: havoc1

Hallo,

ich habe eine Funktion f: [mm] \IR^{2} [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] die überall lokal als Potenzreihe geschrieben werden kann. Nun kann ich eine solche Funktion stets mit einer Funktion g: [mm] \IC [/mm] -> [mm] \IR [/mm] identifizieren. Ich bin mir nun eigentlich sicher, dass ich diese Funktion g dann auch in einer (komplexen) Potenzreihe schreiben kann. (und umgekehrt= Weiß aber zugegebenermaßen nicht wie man das kurz und prägnant begründen kann. Geht es möglicherweiße gar nicht kurz, oder gibt es ein gutes Argument?

Man kann natürlich sagen, dass f  [mm] \circ [/mm] ( [mm] \Theta) [/mm] = g für einen Isomorphismus von   [mm] \IC [/mm] nach [mm] \IR^{2} [/mm]  und umgekehrt. Aber das ist mir nicht so wirklich ausreichend..

        
Bezug
R^2<-> Analytizität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:08 Mo 09.11.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich habe eine Funktion f: [mm]\IR^{2}[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] die überall
> lokal als Potenzreihe geschrieben werden kann. Nun kann ich
> eine solche Funktion stets mit einer Funktion g: [mm]\IC[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
> identifizieren. Ich bin mir nun eigentlich sicher, dass ich
> diese Funktion g dann auch in einer (komplexen) Potenzreihe
> schreiben kann. (und umgekehrt= Weiß aber
> zugegebenermaßen nicht wie man das kurz und prägnant
> begründen kann. Geht es möglicherweiße gar nicht kurz,
> oder gibt es ein gutes Argument?
>  
> Man kann natürlich sagen, dass f  [mm]\circ[/mm] ( [mm]\Theta)[/mm] = g für
> einen Isomorphismus von   [mm]\IC[/mm] nach [mm]\IR^{2}[/mm]  und umgekehrt.
> Aber das ist mir nicht so wirklich ausreichend..


Ich gebe folgendes zu bedenken:

Ist $g: [mm] \IC \to \IR$ [/mm] eine Funktion, die sich in einer offenen Umgebung U von [mm] z_0 \in \IC [/mm] als Potenzreihe schreiben lässt, so ist g auf U holomorph.

Dann muss g aber auf U konstant sein. Denn wäre dies nicht der Fall, so wäre $g(U)$ eine offene Teilmenge von [mm] \IC, [/mm] was aber wegen

  $g(U) [mm] \subseteq g(\IC) \subseteq \IR$ [/mm]

nicht der Fall sein kann.

Fazit: g ist auf U konstant.

FRED

Bezug
                
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R^2<-> Analytizität: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:03 Mo 09.11.2015
Autor: havoc1

Ich versteh was du meinst, meine Überlegung würde implizieren, dass analytische Funktionen von [mm] R^2 [/mm] nach R immer konstant wären. Wäre es nicht zumindest möglich zu sagen eine analytische Funktion (von R2 nach R) ist der Realteil einer holomorphen Funktion? (Und man schreibt die Funktion f dann als Realteil der Potenzreihe?

Bezug
                        
Bezug
R^2<-> Analytizität: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Do 12.11.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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