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RO, 1994, d^2 <= a+b: Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 10:30 Fr 27.08.2004
Autor: Stefan

Hallo,

hier eine kleine (nicht allzu schwierige) elementare Zahlentheorie-Aufgabe der Russischen Mathe-Olympiade aus dem Jahre 1994:

Es seien $a,b [mm] \in \IN$ [/mm] mit

[mm] $\frac{a+1}{b} [/mm] + [mm] \frac{b+1}{a} \in \IN$. [/mm]

Weiterhin sei

[mm] $d=\ggT(a,b)$. [/mm]

Zeige:

[mm] $d^2 \le [/mm] a+b$.

Liebe Grüße
Stefan

        
Bezug
RO, 1994, d^2 <= a+b: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:32 Sa 28.08.2004
Autor: AT-Colt

Hallo Leute,

ich versuchs mal:

Wir haben für $a,b [mm] \in \IN$ [/mm] vorausgesetzt:

[mm] $\bruch{a+1}{b} [/mm] + [mm] \bruch{b+1}{a} \in \IN$ [/mm]

Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] das Ergebnis dieser Rechnung, dann gilt:

[mm] $\bruch{a+1}{b} [/mm] + [mm] \bruch{b+1}{a} [/mm] = n$
[mm] \gdw [/mm]
[mm] $a^2+a+b^2+b [/mm] = a*b*n [mm] \gdw [/mm] a + b = a*b*n - [mm] a^2 [/mm] - [mm] b^2$ [/mm]
Dabei ist $a + b$ wieder eine natürliche Zahl, also auch der rechte Ausdruck.

Desweiteren gilt $d [mm] \in \operatorname{ggT}(a,b)$, [/mm] also gibt es [mm] $\bar{a},\bar{b} \in \IZ$ [/mm] mit $a = [mm] d*\bar{a}$ [/mm] und $b = [mm] d*\bar{b}$. [/mm]

Nun wollen wir Anfangen, die Lösung zu überprüfen:

[mm] $d^2 \le [/mm] a + b = [mm] a*b*n-a^2-b^2 [/mm] = [mm] d^2*(\bar{a}*\bar{b}*n [/mm] - [mm] \bar{a}^2 [/mm] - [mm] \bar{b}^2)$ [/mm]
[mm] \gdw [/mm]
$1 [mm] \le \bar{a}*\bar{b}*n [/mm] - [mm] \bar{a}^2 [/mm] - [mm] \bar{b}^2$ [/mm]

Da [mm] $d^2$ [/mm] wegen $d [mm] \in \operatorname{ggT}(a,b)$ [/mm] den Ausdruck [mm] $a*b*n-a^2-b^2$ [/mm] glatt teilt und dieser Ausdruck eine natürliche Zahl war, muss auch [mm] $\bar{a}*\bar{b}*n [/mm] - [mm] \bar{a}^2 [/mm] - [mm] \bar{b}^2$ [/mm] eine natürliche Zahl sein (es wurde durch etwas positives geteilt), also insbesondere [mm] $\ge [/mm] 1$.

Ich hoffe, das ist soweit richtig.

greetz

AT-Colt

Bezug
                
Bezug
RO, 1994, d^2 <= a+b: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:06 So 29.08.2004
Autor: Stefan

Lieber AT-Colt!

Deine Lösung ist richtig [daumenhoch], aber am Schluss vielleicht ein kleines bisschen umständlich (was deine Leistung nicht schmälern soll :-)).

[mm]a + b = a*b*n - a^2 - b^2[/mm]

Das hast du sehr schön hergeleitet:

Jetzt weißt du ja (so hast du ja selber argumentiert), dass

[mm] $d^2 \, \vert \, [/mm] (a*b*n - [mm] a^2 [/mm] - [mm] b^2)$ [/mm]

gilt.

Daraus folgt dann:

[mm] $d^2\, \vert \, [/mm] (a + b)$,

also insbesondere:

[mm] $d^2 \le [/mm] a+b$.


Ist dir das klar? Und den anderen? Wenn nicht: Unbedingt nachfragen!! :-)

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                        
Bezug
RO, 1994, d^2 <= a+b: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:45 So 29.08.2004
Autor: AT-Colt


> Lieber AT-Colt!
>  
> Deine Lösung ist richtig [daumenhoch], aber am Schluss
> vielleicht ein kleines bisschen umständlich (was deine
> Leistung nicht schmälern soll :-)).

Ich bin kritikfähig ^^;

> Daraus folgt dann:
>  
> [mm]d^2\, \vert \, (a + b)[/mm],
>  
> also insbesondere:
>  
> [mm]d^2 \le a+b[/mm].
>  
> Ist dir das klar? Und den anderen? Wenn nicht: Unbedingt
> nachfragen!! :-)

Jetzt, wo es da steht, ist es mir auch sofort klargewesen, aber selbst bin ich nicht drauf gekommen, ich hatte vergessen, dass Teiler meistens kleiner/gleich der geteilten Zahl sind ^^;

Ich muss sagen, auf den letzten Schritt habe ich am meisten Mühe verwendet...

greetz

AT-Colt

Bezug
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