Radielle Kraft/Konservative < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | 3a: Bewijs dat een radiele kracht, dwz een kracht van de vorm F=g(r)*r conservatief is. Er geldt [mm] r=\left[ x,y,z \right] [/mm] en [mm] r=\wurzel{x^2+y^2+z^2}.
[/mm]
3b: De zwaartekracht tussen twee massa's [mm] M_1, M_2 [/mm] op afstand r wordt gegeven door [mm] F(r)=-\gamma*M_1*M_2*r^{-3}*r
[/mm]
Bepaal de bijbehorende potentiele energie U(r). |
3a: beweise dass die radielle Kraft, bzw eine Kraft der Form F=g(r)*r konservativ ist. Es gilt: [mm] r=\left[ x,y,z \right] [/mm] en [mm] r=\wurzel{x^2+y^2+z^2}.
[/mm]
3b: Die kraft zwischen zwei Massen [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] mit dem Abstand r ist gegeben durch [mm] F(r)=-\gamma*M_1*M_2*r^{-3}*r.
[/mm]
Bestimmt die dazugehörende potentielle Energie U(r).
Hallo die dritte :) :)
ja, ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung :(
schon wieder dieses konservativ das ich nicht verstehe :(
Habt ihr einen Ansatz für mich? Vielen, vielen Dank!!!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Do 01.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> 3a: Bewijs dat een radiele kracht, dwz een kracht van de
> vorm F=g(r)*r conservatief is. Er geldt [mm]r=\left[ x,y,z \right][/mm]
> en [mm]r=\wurzel{x^2+y^2+z^2}.[/mm]
>
> 3b: De zwaartekracht tussen twee massa's [mm]M_1, M_2[/mm] op
> afstand r wordt gegeven door [mm]F(r)=-\gamma*M_1*M_2*r^{-3}*r[/mm]
> Bepaal de bijbehorende potentiele energie U(r).
> 3a: beweise dass die radielle Kraft, bzw eine Kraft der
> Form F=g(r)*r konservativ ist. Es gilt: [mm]r=\left[ x,y,z \right][/mm]
> en [mm]r=\wurzel{x^2+y^2+z^2}.[/mm]
>
> 3b: Die kraft zwischen zwei Massen [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] mit dem
> Abstand r ist gegeben durch
> [mm]F(r)=-\gamma*M_1*M_2*r^{-3}*r.[/mm]
> Bestimmt die dazugehörende potentielle Energie U(r).
>
> Hallo die dritte :) :)
>
> ja, ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung :(
> schon wieder dieses konservativ das ich nicht verstehe :(
Das physikalische Prinzip dahinter ist gar nicht schwierig zu verstehen.
Salopp ausgedrückt: eine Kraft ist konservativ, wenn Energieerhaltung gilt (erhalten = konserviert).
Genauer: wenn ich mich auf einer geschlossenen Bahn (z.B. im Kreis) bewege, brauche ich insgesamt keine Energie.
Das bedeutet aber, das die Arbeit, die ich für eine Bewegung aufwenden muss, nur von Anfangs- und Endpunkt der Bewegung abhängt, aber nicht vom Weg dazwischen.
Konkretes Beispiel: Bewegung im Schwerefeld der Erde: ich muss zwar Energie zuführen, um einen Stein hochzuheben, aber die gleiche Menge an Energie bekomme ich heraus, wenn ich denn Stein wieder weglege.
Konkretes Gegenbeispiel: Bewegung mit Reibung: Durch die Reibung muss ich Energie aufwenden, selbst wenn meine Bewegung mich wieder an den Ausgangspunkt zurückführt.
In Formeln sieht das so aus: Die Arbeit, die ich bei Bewegung entlang eines Weges [mm] $\gamma$ [/mm] verrichten muss, ist
[mm] W= -\integral\limits_{\gamma} \vec{F}*d\vec{r} [/mm]
Dies gilt ganz allgemein, egal ob die Kraft konservativ ist oder nicht.
Wenn die Kraft konservativ ist, dann ist das Integral entlang eines beliebigen geschlossenen Weges 0:
[mm] \oint\limits_{\gamma} \vec{F}*d\vec{r} [/mm],
und das ist äquivalent zu der Aussage, dass die Arbeit nur von Anfangs- und Endpunkt abhängt:
[mm] W = -\integral_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \vec{F}*d\vec{r} [/mm].
Das ist insbesondere dann der Fall, wenn die Kraft der Gradient eines Potentials ist:
[mm] \vec{F}(\vec{r}) = - \vec{\nabla} \Phi(\vec{r}) = -\vektor{\Phi_x(\vec{r})\\\Phi_y(\vec{r})\\\Phi_z(\vec{r})}[/mm], (*)
dann ist nämlich
[mm] W = -\integral_{s_1}^{s_2} \vec{F}*d\vec{r} = \Phi(\vec{r}_2) - \Phi(\vec{r}_1) [/mm].
Die aufzuwendende Energie ist also gerade die Potentialdifferenz zwischen Anfangs- und Endpunkt.
Aus Gleichung (*) folgt, dass die Rotation
[mm] \vec{\nabla}\times \vec{F}(\vec{r}) = 0 [/mm]. (**)
(Die Umkehrung gilt nicht in jedem Fall; dies ist also eine notwendige Bedingung.)
In Teilaufgabe 3a sollst du zeigen, dass eine Kraft, die überall die gleiche Richtung wie [mm] $\vec{r}$ [/mm] hat, konservativ ist. Du sollst also zeigen, dass es eine Funktion [mm] $\Phi(\vec{r})$ [/mm] gibt, sodass für ein gegebenes $g(r)$ gilt:
[mm] \vec{F}(\vec{r} = g(r)\vec{r} = -\vec{\nabla} \Phi(\vec{r}) [/mm].
Tipp: mache den Ansatz: [mm] $\Phi(\vec{r}) [/mm] = [mm] \Phi(r)$ ($\Phi$ [/mm] hängt nur vom Abstand [mm] $r=|\vec{r}|$ [/mm] ab, nicht von der Richtung) und berechne [mm] $\vec{\nabla} \Phi(r)$ [/mm] mit der Kettenregel!
3b ist dann ein Spezialfall davon, für den du die Funktion $Phi(r)$ explizit bestimmen kannst.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
dankeschön für deine fixe Antwort
verstanden habe ich das prinzip jetzt soweit.
[mm] -\vec{\nabla} [/mm] * [mm] \Phi(\vec{r}) [/mm] = - [mm] \vektor{\Phi_x (\vec{r} \\ \Phi_y (\vec{r} \\ \Phi_z (\vec{r}}
[/mm]
aber ich weiß immernoch nicht wie ich [mm] g(r)*\vec{r} [/mm] bestimme... muss ich [mm] r=\wurzel{x^2+y^2+z^2} [/mm] einsetzen?
zu b... nun wollte ich [mm] \vec{\nabla}*\Phi(\vec{r}) [/mm] errechnen und die ketten regel benutzen und bin zu [mm] \bruch{d\vec{\nabla}}{d\Phi}*\bruch{d\Phi}{dr} [/mm] aber ich glaube das ist falsch?
Vielen Dank für deine Hilfe :)
Liebe Grüße :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Fr 02.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> dankeschön für deine fixe Antwort
>
> verstanden habe ich das prinzip jetzt soweit.
>
> [mm]-\vec{\nabla}[/mm] * [mm]\Phi(\vec{r})[/mm] = - [mm]\vektor{\Phi_x (\vec{r} \\ \Phi_y (\vec{r} \\ \Phi_z (\vec{r}}[/mm]
>
> aber ich weiß immernoch nicht wie ich [mm]g(r)*\vec{r}[/mm]
> bestimme... muss ich [mm]r=\wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm] einsetzen?
Ja.
> zu b... nun wollte ich [mm]\vec{\nabla}*\Phi(\vec{r})[/mm] errechnen
> und die ketten regel benutzen und bin zu
> [mm]\bruch{d\vec{\nabla}}{d\Phi}*\bruch{d\Phi}{dr}[/mm] aber ich
> glaube das ist falsch?
[mm] $\vec{\nabla}$ [/mm] ist selbst eine Ableitung:
[mm] \vec{\nabla} = \vektor{\bruch{\partial}{\partial x}\\\bruch{\partial}{\partial y}\\\bruch{\partial}{\partial z}} [/mm]
Ich zeige es dir für eine der drei Ableitungen. Die Kettenregel sagt:
[mm] \bruch{\partial}{\partial x} \Phi(r) = \Phi'(r) * \bruch{\partial r}{\partial x} [/mm]
Jetzt setzt du $r= [mm] \wurzel{x^2+y^2+z^2}$ [/mm] ein:
[mm] \bruch{\partial r}{\partial x} = \bruch{1}{2\wurzel{x^2+y^2+z^2}} * 2x = \bruch{1}{r} x [/mm]
Die anderen beiden partiellen Ableitungen gehen genauso, sodass am Schluss rauskommt:
[mm] \vec{\nabla}*\Phi(r) = \Phi'(r) * \bruch{1}{r} * \vektor{x\\y\\z} = \Phi'(r) * \bruch{1}{r} * \vec{r} [/mm].
Vergleiche das mit [mm] $g(r)*\vec{r} [/mm] = - [mm] \vec{\nabla}*\Phi(r)$ [/mm] !
Viele Grüße
Rainer
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Hallo :)
Ich habs :) :)
also:
$ [mm] \bruch{\partial r}{\partial y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x^2+y^2+z^2}} \cdot{} [/mm] 2y = [mm] \bruch{1}{r} [/mm] y $
en
$ [mm] \bruch{\partial r}{\partial z} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x^2+y^2+z^2}} \cdot{} [/mm] 2z = [mm] \bruch{1}{r} [/mm] z $
damit komm ich dann auch auf deine endformel
g(r) muss dann sein: [mm] -\Phi'(r)+\bruch{1}{r}
[/mm]
aaaaber ist das meine Lösung?
Liebe Grüße und nochmals, Danke :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Fr 02.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo :)
>
> Ich habs :) :)
> also:
>
>
> [mm]\bruch{\partial r}{\partial y} = \bruch{1}{2\wurzel{x^2+y^2+z^2}} \cdot{} 2y = \bruch{1}{r} y[/mm]
>
> en
>
>
> [mm]\bruch{\partial r}{\partial z} = \bruch{1}{2\wurzel{x^2+y^2+z^2}} \cdot{} 2z = \bruch{1}{r} z[/mm]
>
> damit komm ich dann auch auf deine endformel
> g(r) muss dann sein: [mm]-\Phi'(r)+\bruch{1}{r}[/mm]
Fast: das Pluszeichen ist falsch: $g(r) = [mm] -\Phi'(r)*\bruch{1}{r}$.
[/mm]
> aaaaber ist das meine Lösung?
Auch fast. Du sollst zeigen, dass eine Kraft der Form [mm] $g(r)*\vec{r}$ [/mm] konservativ ist. Das ist der Fall, wenn die Kraft von einem Potential [mm] $\Phi(r)$ [/mm] herkommt. Und das hst du hier, denn aus
[mm] \Phi'(r) = -r*g(r) [/mm]
kannst du durch Integration immer das Potential herleiten:
[mm] \Phi = -\integral r*g(r) dr [/mm]
Du musst das Integral nicht ausrechnen können, es reicht, dass es im Prinzip geht.
Der Teil b) der Aufgabe ist dann nur noch ein Spezialfall, in dem du alle dieses Potential explizit ausrechnen sollst.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
dankeschön für deine antwort.
aber wie rechne ich denn das potential bei b explizit aus?
vielen dank für deine antwort :)
liebe grüße und einen schönen feiertag :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Sa 03.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> aber wie rechne ich denn das potential bei b explizit aus?
Du hast doch [mm] $\vec{F} [/mm] = g(r) * [mm] \vec{r}$ [/mm] gegeben. Und du weisst, dass
[mm]\Phi'(r) = -r*g(r) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
okay, ich setze für g(r) [mm] \cdot{} \vec{r} [/mm] dann [mm] \Phi'(r) [/mm] ein
und habe [mm] \vec{F}=\Phi'(r)
[/mm]
wie gehe ich weiter vor?
Vielen Dank :)
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Sa 03.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> okay, ich setze für g(r) [mm]\cdot{} \vec{r}[/mm] dann [mm]\Phi'(r)[/mm]
> ein
> und habe [mm]\vec{F}=\Phi'(r)[/mm]
Nein, das sind doch zwei geanz verschiedene Gleichungen: die Kraft ist $g(r)$ mal dem Vektor [mm] $\vec{r}$, [/mm] und [mm] $\Phi'$ [/mm] ist $-g(r)$ mal dem Abstand $r$.
Du solltest richtig schon lesen, was ich gestern geschrieben habe.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
ich habe es jetzt nochmal ganz genau gelesen.
Also ich habe ja [mm] F=-\gamma*M_1*M_2*r^{-3}*r
[/mm]
und ich weiß aus a) F=g(r)*r ich wollte ähnlich vorgehen wie bei a)
ich habe jetzt gedacht g(r) ist [mm] -\gamma*M_1*M_2*r^{-3}
[/mm]
nun wollte ich [mm] \Phi'(r)\bruch{\partial r}{\partial x} [/mm] berechnen, aber nach x ableiten hat keinen sinn... wonach kann ich ableiten? r?
Liebe Grüße und vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:05 So 04.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
lies wirklich rainers post noch mal genau und langsam durch und ueberleg die einzelnen Sachen da steht fast genau was du tun musst!. erst wenn du jede Zeile verstanden hast frag wieder, und sag genau was bezogen auf den post noch unklar ist.
Gruss leduart
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Hallo...
ich hab jetzt ganz genau und ganz langsam gelesen...
und wenn ichs jetzt immernoch nicht verstanden hab tuts mir leid :(
ich muss jetzt das Potential ausrechnen und dieses Potential kann ich ausrechnen wenn ich
$ [mm] \Phi [/mm] = [mm] -\integral r\cdot{}g(r) [/mm] dr $
berechne.
mit [mm] g(r)=-\gamma*M_1*M_2*r^{-3}
[/mm]
das setze ich nun ein:
[mm] \integral_{}^{}{-\gamma*M_1*M_2*r^{-3}
dr} [/mm] = [mm] \bruch{-\gamma*M_1*M_2}{r}
[/mm]
wenn das nun wieder falsch ist tut es mir leid :(
liebe grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 So 04.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich muss jetzt das Potential ausrechnen und dieses
> Potential kann ich ausrechnen wenn ich
> [mm]\Phi = -\integral r\cdot{}g(r) dr[/mm]
>
> berechne.
> mit [mm]g(r)=-\gamma*M_1*M_2*r^{-3}[/mm]
Richtig.
> das setze ich nun ein:
>
> [mm]\integral_{}^{}{-\gamma*M_1*M_2*r^{-3} dr}[/mm] = [mm]\bruch{-\gamma*M_1*M_2}{r}[/mm]
Das Ergebnis ist richtig, nur hast du vergessen, im Integral links den Faktor r hinzuschreiben:
[mm]\integral_{}^{}\red{r*}(-\gamma*M_1*M_2*r^{-3} ) dr = \bruch{-\gamma*M_1*M_2}{r}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 So 04.10.2009 | | Autor: | Alaizabel |
VIELEN DANK!!!!!!
ich habs verstanden :)
einen schönen Sonntag noch :)
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