Radikale < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 So 11.11.2007 | | Autor: | ish5 |
| Aufgabe | | Sei K ein Teilkörper eines Körpers L. Man zeige, dass die Menge aller in L liegenden Radikale über K eine Untergruppe von (L;*) ist. Wie läßt sich diese Untergruppe im Fall [mm] K=\IC [/mm] beschreiben? |
Hallo,
leider stehe ich bei dieser Aurgabe auf dem Schlauch. Über Hilfestellungen würde ich mich sehr freuen.
- Eine Teilmenge X eines Körpers Y wird ein Teilkörper von Y genannt, wenn X bezüglich der in Y gegebenen Addition und Multiplikation die Körperaxiome erfüllt.
- Ein Radikal über Y ist ein Element a eines Körpers, der Y als Teilkörper enthält, zu dem es ein [mm] n\in\IN [/mm] gibt mit [mm] a^{n} \in [/mm] Y \ { [mm] 0_{y} [/mm] }
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:24 Di 13.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei K ein Teilkörper eines Körpers L. Man zeige, dass die
> Menge aller in L liegenden Radikale über K eine Untergruppe
> von (L;*) ist. Wie läßt sich diese Untergruppe im Fall
> [mm]K=\IC[/mm] beschreiben?
Gemeint ist sicher die Gruppe $(L [mm] \setminus \{ 0 \}, \cdot)$, [/mm] oder?
> leider stehe ich bei dieser Aurgabe auf dem Schlauch. Über
> Hilfestellungen würde ich mich sehr freuen.
>
> - Eine Teilmenge X eines Körpers Y wird ein Teilkörper von
> Y genannt, wenn X bezüglich der in Y gegebenen Addition und
> Multiplikation die Körperaxiome erfüllt.
> - Ein Radikal über Y ist ein Element a eines Körpers, der
> Y als Teilkörper enthält, zu dem es ein [mm]n\in\IN[/mm] gibt mit
> [mm]a^{n} \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Y \ { [mm]0_{y}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Ok. Du sollst zeigen, dass die Menge aller in $L$ liegenden Radikale ueber $K$ eine Unterrguppe von $(L \setminus \{ 0 \}, \cdot)$ ist. Also, was musst du nachrechnen? Das Untergruppenkriterium!
Seien $a, b \in L$ Radikale. Dann musst du zeigen, dass auch $a b^{-1}$ wieder ein Radikal ist. Du musst also ein $n \in \IN$ finden mit $(a b^{-1})^n \in K$. Dafuer musst du benutzen, dass $a$ und $b$ Radikale ueber $K$ sind.
Und du musst natuerlich zeigen, dass die Menge der Radikale nicht leer ist, bzw. (dazu aequivalent) dass 1 drinnenliegt. Fuer welche $n \in \IN$ ist denn $1^n \in K$?
Und zu $\IC$: Beachte, dass $\IC$ algebraisch abgeschlossen ist. Was bedeutet dies fuer Radikale ueber $\IC$?
LG Felix
|
|
|
|
