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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 So 28.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Zwei Radsportler setzen zur Belastungskontrolle während des Trainigs Pulsmessgeräte ein,die die momentane Herzfrequenz der Sportler anzeigen und aufzeichnen.Die aus den ermittelten Werten erstellten Herzfrequenzkurven eines 10.minütigen Trainingsabschnitts können annähernd durch die Graphen der Funktion g mit [mm] g(t)=0.5*t^{3}-6.75*t^{2}+21*t+120 ,0\let\le10 [/mm] und h mit [mm] h(t)=0.5*t^{3}-7.5*t^{2}+24*t+120 ,0\let\le10 [/mm] ,dargestellt werden.Dabei wird die Zeit t in Minuten (min) seit Beginn des Trainingsabschnitts (t=0) und die Herzfrequenz in Schlägen pro Minute (S/min) angegeben.
a)Ermitteln Sie die mittlere Herzfrequenz des 1.Sportlers in den ersten k Minuten des Trainingsabschnitts und berechnen Sie diesen Wert für k=10
b)Die Funktionen g und h gehören zur Funktionenschar [mm] f_{a} [/mm] mit [mm] f_{a}(t)=0.5*t^{3}-1.5*(a+1)*t^{2}+6*a*t+120 ,t\in\IR [/mm] ,a>0.
Es gilt [mm] g(t)=f_{3.5}(t) [/mm] und [mm] h(t)=f_{4}(t).
[/mm]
Untersuchen Sie den Graphen der Funktion [mm] f_{a} [/mm] in Abhängigkeit vom Parameter a auf Extrempunkte.
Begründen Sie,dass alle Funktionen [mm] f_{a} [/mm] mit [mm] a\ge\bruch{47}{9} [/mm] eine Nullstelle im Intervall [2;10] besitzen und somit für eine Beschreibung von Herzfrequenzwerten nicht geeignet sind. |
Hallo ^^
Ich hab mal an die nächste Abiaufgabe gesetzt,bei der ich jetzt nicht mehr weiter komme.
Also bei der a) hab ich überhaupt keinen Plan,wie man das macht,weil wir sowas noch nie gerechnet haben,ich glaub aber es hat irgendwas mit Ableitung und Steigung zu tun.Vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben?
Bei der b) hab ich die Extrempunkte ausgerechnet und hab für die t-Werte der Extrempunkte [mm] t_{1}=2a [/mm] und [mm] t_{2}=2 [/mm] rausbekommen,ich glaub aber dass mein [mm] t_{2} [/mm] nicht stimmt und finde meinen Fehler nicht,hier mal meine Rechnung:
[mm] f_{a}'(t)=1.5*t^{2}-3*(a+1)*t+6a
[/mm]
[mm] f_{a}''(t)=3t-3a-3
[/mm]
[mm] 1.5*t^{2}-3*(a+1)*t+6a=0
[/mm]
[mm] t^{2}-2*(a+1)*t+4a=0
[/mm]
anwenden von pq-Formel ergibt [mm] t=(a+1)\pm\wurzel{(a-1)^{2}}
[/mm]
so komme ich auf [mm] t_{1}=2a [/mm] und [mm] t_{2}=2.Stimmt [/mm] das so?
Danach muss ich die Nullstellen bestimmen,also [mm] 0.5*t^{3}-1.5*(a+1)*t^{2}+6*a*t+120=0,muss [/mm] man das hier mit Polynomdivision machen oder geht es auch anders?
Vielen dank für eure Hilfe
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 So 28.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Folgendes Formel ist anzuwenden bzw. folgende Gleichung aufzustellen:
$$m(k) \ = \ [mm] \bruch{\integral_0^k{g(t) \ dt}}{k-0}$$
[/mm]
Dabei wird zunächst der Flächeninhalt mittels Integral berechnet. Für den Durchschnittswert wird dann wieder durch die Intervalllänge $k-0_$ geteilt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,ist die mittlere Herfrequenz für k=10 dann 125?
Wie nennt man diese Formel eigentlich,ich würd sie nämlich gern mal in meiner Formelsammlung nachschlagen ?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
> Ok,ist die mittlere Herfrequenz für k=10 dann 125?
Das habe ich auch erhalten! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie nennt man diese Formel eigentlich,ich würd sie nämlich
> gern mal in meiner Formelsammlung nachschlagen ?
Ich glaube nicht, dass diese Formel einen bestimmten Namen hat. Hier wurde nur ein Flächeninhalt (das Integral) mit einem flächengleichen Rechteck vergleichen bzw. umgerechnet.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Mandy,
> Wie nennt man diese Formel eigentlich,ich würd sie nämlich
> gern mal in meiner Formelsammlung nachschlagen ?
Die Formel ist meist unter dem Namen "linearer Mittelwert" bekannt.
Bei Wikipedia hab' ich sie hier
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung in Kapitel 4.1 unter der Überschrift "Mittelwert stetiger Funktionen" gefunden.
Sie steht allerdings nicht in allen Formelsammlungen!
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 So 28.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
> Bei der b) hab ich die Extrempunkte ausgerechnet und hab
> für die t-Werte der Extrempunkte [mm]t_{1}=2a[/mm] und [mm]t_{2}=2[/mm]
> rausbekommen,ich glaub aber dass mein [mm]t_{2}[/mm] nicht stimmt
Doch, diese beiden Werte habe ich auch erhalten.
> Danach muss ich die Nullstellen bestimmen,also
> [mm]0.5*t^{3}-1.5*(a+1)*t^{2}+6*a*t+120=0,muss[/mm] man das hier mit
> Polynomdivision machen oder geht es auch anders?
Es sollen nicht die exakten Nullstellen ermittelt werden, sondern nur nachgewiesen werden, dass überhaupt Nullstelle(n) existieren.
Berechne dafür mal zunächst [mm] $f_a(2)$ [/mm] sowie [mm] $f_a(10)$ [/mm] und vergleiche die Vorzeichen der beiden Ergebnisse.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Danach muss ich die Nullstellen bestimmen,also
> > [mm]0.5*t^{3}-1.5*(a+1)*t^{2}+6*a*t+120=0,muss[/mm] man das hier mit
> > Polynomdivision machen oder geht es auch anders?
>
> Es sollen nicht die exakten Nullstellen ermittelt werden,
> sondern nur nachgewiesen werden, dass überhaupt
> Nullstelle(n) existieren.
>
> Berechne dafür mal zunächst [mm]f_a(2)[/mm] sowie [mm]f_a(10)[/mm] und
> vergleiche die Vorzeichen der beiden Ergebnisse.
>
>
Ok,ich hab die beiden Werte berechnet und hab [mm] f_{a}(2)=6a-118 [/mm] und [mm] f_{a}(10)=-90a+470
[/mm]
Also die Vorzeichen haben sich von negativ auf positiv geändert,das heißt die Graphen müssten die x-Achse schneiden und hätten somit Nullstellen.
Ich versteh aber nicht warum dann [mm] f_{3.5}(t) [/mm] und [mm] f_{4}(t) [/mm] keine Nullstellen in [2;10] haben,in der Aufgabe steht ja,dass alle Graphen in diesem Intervall Nullstellen haben ?
vielen dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
> > Oder andersrum gefragt: für welche [mm]a_[/mm] ist [mm]f_a(10)[/mm] auch wirklich negativ?
>
> Für [mm]a>\bruch{47}{9}[/mm] ist es immer negativ.
Richtig. Und das ist ja genau der Schwellenwert, der auch in der Aufgabenstellung genannt wird.
> Das kann aber gar nicht sein,da [mm]f_{3.5}(t)[/mm] und [mm]f_{4}(t)[/mm]
> keine Nullstellen in diesem Intervall haben ?
Aber es gilt doch auch: $3.5 \ < \ 4 \ [mm] \red{< \ 5\bruch{2}{9}}$ [/mm] !
Ergo: keine Nullstellen!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:41 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ja,klar doch.Also die Bruchrechnung hat mich in dieser Aufgabe echt fertig gemacht,ich war als in der Annahme,dass [mm] 5\bruch{2}{9}=\bruch{10}{9} [/mm] ist...(peinlich).
Vielen dank ^^
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Zeigen Sie,dass sich die Graphen aller Funktionen [mm] f_{a} [/mm] der Funktionenschar in genau zwei Punkten [mm] S_{1}(0/120) [/mm] und [mm] S_{2}(4/128) [/mm] schneiden.
Ermitteln Sie den Inhalt [mm] A(a_{1};a_{2}) [/mm] der Fläche ,die dieGraphen zweier Funktionen [mm] f_{a1} [/mm] und [mm] f_{a2} ,a_{1} |
Hallo nochmal^^
Ich hab noch die Teilaufgabe c.) zu dieser Aufgabe gemacht,komme da aber nicht mehr weiter.
Also für die zwei Schnittpunkte [mm] S_{1} [/mm] und [mm] S_{2} [/mm] muss ich ja zwei Graphen gleichsetzen,sagen wir mal [mm] f_{a1}=f_{a2}.
[/mm]
Jetzt hab ich das versucht aufzulösen,komme aber nicht auf die angegebenen Schnittpunkte,hier mal meine Rechnung:
[mm] 0.5t^{3}-1.5*(a_{1}+1)*t^{2}+6*a_{1}*t+120=0.5t^{3}-1.5*(a_{2}+1)*t^{2}+6*a_{2}*t+120
[/mm]
das hab ich versucht aufzulösen und bin am Ende auf
[mm] (a_{1}-a_{2})*t+(a_{2}-a_{1})=0 [/mm] gekommen.
Ich weiß nicht,wie man auf diese zwei Schnittpunkte kommt ???
Und dann muss ich folgendes Integral berechnen:
[mm] \integral_{0}^{4}{f_{a2}(t)-f_{a1}(t) dt}=[0.5*a_{2}*t^{3}+3*a_{2}*t^{2}+0.5*a_{1}*t^{3}-3*a_{1}*t^{2}
[/mm]
Für die Fläche hab ich 264 FE raus.
Ist das so richtig?
vielen dank
lg
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Hallo.
die Funktion lautet nach Auflösen der Klammern
[mm] f(t)=0,5*t^{3}-1,5*a*t^{2}-1,5*t^{2}+6*a*t+120
[/mm]
interessant sind die beiden Terme, die den Parameter a enthalten, damit sich dieser NICHT auf die Funktion auswirkt, gilt:
[mm] -1,5*a*t^{2}+6*a*t=0
[/mm]
für [mm] t_1=0 [/mm] und [mm] t_2=4
[/mm]
erhälst du
[mm] -1,5*a*0^{2}+6*a*0=0 [/mm] also 0=0
[mm] -1,5*a*4^{2}+6*a*4=0 [/mm] also -24a+24a=0
jetzt kannst du f(0) berechnen, der Punkt (0; 120)
jetzt kannst du f(4) berechnen, der Punkt (4; 128)
Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
> Also für die zwei Schnittpunkte [mm]S_{1}[/mm] und [mm]S_{2}[/mm] muss ich
> ja zwei Graphen gleichsetzen,sagen wir mal [mm]f_{a1}=f_{a2}.[/mm]
Yep!
> Jetzt hab ich das versucht aufzulösen,komme aber nicht auf
> die angegebenen Schnittpunkte,hier mal meine Rechnung:
>
> [mm]0.5t^{3}-1.5*(a_{1}+1)*t^{2}+6*a_{1}*t+120=0.5t^{3}-1.5*(a_{2}+1)*t^{2}+6*a_{2}*t+120[/mm]
>
> das hab ich versucht aufzulösen und bin am Ende auf
> [mm](a_{1}-a_{2})*t+(a_{2}-a_{1})=0[/mm] gekommen.
Da musst Du wohl irgendwann auch mal durch $t_$ geteilt haben (darfst Du das?).
Fangen wr nochmal an:
[mm] $$0.5*t^{3}-1.5*(a_{1}+1)*t^{2}+6*a_{1}*t+120 [/mm] \ = \ [mm] 0.5*t^{3}-1.5*(a_{2}+1)*t^{2}+6*a_{2}*t+120 [/mm] \ \ [mm] \left| \ -0.5*t^3-120$$
$$-1.5*(a_{1}+1)*t^{2}+6*a_{1}*t \ = \ -1.5*(a_{2}+1)*t^{2}+6*a_{2}*t \ \ \left| \ : \ (-1.5)$$
$$(a_{1}+1)*t^{2}-4*a_{1}*t \ = \ (a_{2}+1)*t^{2}-4*a_{2}*t$$
$$a_{1}*t^2+t^{2}-4*a_{1}*t \ = \ a_{2}*t^2+t^{2}-4*a_{2}*t \ \ \left| \ - \ t^2$$
$$a_{1}*t^2-4*a_{1}*t \ = \ a_{2}*t^2-4*a_{2}*t \ \ \left| \ - \ a_{2}*t^2+4*a_{2}*t$$
$$(a_{1}-a_2)*t^2-4*(a_{1}-a_2)*t \ = \ 0$$
$$(a_{1}-a_2)*\left(t^2-4*t\right) \ = \ 0$$
Nun klar?
Gruß
Loddar
[/mm]
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Hallo,
deine Grenzen 0 und 4 sind korrekt, ich habe folgenden Lösungsvorschlag für dich, es gilt laut Aufgabe [mm] a_1
wir haben also die zwei Funktionen
[mm] f_a_1(t)=0,5*t^{3}-1,5*(a_1+1)*t^{2}+6*a_1*t+120
[/mm]
[mm] f_a_2(t)=0,5*t^{3}-1,5*(a_1+k+1)*t^{2}+6*(a_1+k)*t+120
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{4}{f_a_2(t)-f_a_1(t) dt}
[/mm]
nach Zusammenfassen erhalten wir
[mm] \integral_{0}^{4}{-1,5*k*t^{2}+6*k*t dt}
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{2}*k*t^{3}+3*k*t^{2} [/mm] in den Grenzen 0 und 4
-32k+48k
16k
in der letzten Teilaufgabe ist k=0,5 also beträgt die eingeschlossene Fläche 16*0,5=8FE. FunkyPlot hat es auch wunderbar bestätigt,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Di 30.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Vielen dank an euch beiden, jetzt ist es klar =)
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Es existieren (gemäß Aufgabenstellung) nur Nullstelle(n) für $a \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ [mm] \bruch{10}{2} [/mm] \ = \ 5$ !
