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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Sa 21.04.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Zeige, daß gilt:
[mm] $r(\vec{x})=\pi\Leftrightarrow r(\pi^{-1}(\vec{x})=(1,2,...,n)$
[/mm]
wobei [mm] $\pi\in\Pi_n$ [/mm] und [mm] $\Pi_n$ [/mm] die Menge aller Permutationen auf [mm] $\left\{1,...,n\right\}$ [/mm] bezeichne und [mm] $r(\vec{x})$ [/mm] den Rangvektor einer Stichprobe [mm] $\vec{x}=(x_1,...,x_n)$. [/mm] |
Ich wollte mir das erstmal an einem Beispiel klarmachen.
Sei [mm] $\vec{x}=(7,1,13,2)$.
[/mm]
Dann ist [mm] $r(\vec{x})=(3,1,4,2)$.
[/mm]
Dies ist ja nun eine Permutation auf [mm] $\left\{1,2,3,4\right\}$. [/mm] Also müsste jetzt folgen:
[mm] $r(\pi^{-1}((7,1,13,2)))=(1,2,3,4)$.´
[/mm]
Ich sehe aber nicht, was [mm] $\pi^{-1}((7,1,13,2))$ [/mm] sein soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Sa 21.04.2012 | | Autor: | dennis2 |
Moin, mikexx,
ich geh' mal davon aus, dass ihr dieses meint:
[mm] $\pi(\vec{x})=\pi(x_1,...,x_n)=(x_{\pi(1)},...,x_{\pi(n)})$.
[/mm]
Dann kommt man bei deinem Beispiel auf:
[mm] $r(\pi^{-1}(3,1,4,2)=r((x_2,x_4,x_1,x_3))=r((1,2,3,4))=(1,2,3,4)$
[/mm]
Was hier benutzt wird ist, dass man die Permutationen sozusagen fortsetzen kann auf [mm] $\mathbb R^n$, [/mm] indem man eben die Stichprobenwerte nach der Permutation (hier: nach der inversen Permutation von (3,1,4,2)) ordnet.
Beste Grüße
Dennis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Sa 21.04.2012 | | Autor: | mikexx |
So macht es ja Sinn. 
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