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Räume mit abzählb.Basis: Erklärung
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:24 So 03.07.2011
Autor: Balendilin

Hallo,

was für Räume haben denn alles eine abzählbare Basis? (in dem Sinn, dass der Abschluss der Linearkombination gerade den ganzen Raum ergibt).
Separable Räume haben natürlich eine abzählbare Basis. Und ich glaub auch Hilberträume (unsicher).

Aber findet man auch schon zu Banachräumen eine abzählbare Basis?

Und wie sieht das mit z.B. mit gleichmäßig konvexen Räumen aus?


Danke!

        
Bezug
Räume mit abzählb.Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 So 03.07.2011
Autor: felixf

Moin!

>  Separable Räume haben natürlich eine abzählbare Basis.

[ok]

> Und ich glaub auch Hilberträume (unsicher).

Hilbertraeume haben so eine Basis genau dann, wenn sie separabel sind; siehe auch []hier.

Wie man solche Hilbertraeume erhalten kann steht u.a. []hier, und eine explizite einfache Konstruktion findest du []hier.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Räume mit abzählb.Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:08 So 03.07.2011
Autor: Balendilin

Danke!


> Moin!
>  
> >  Separable Räume haben natürlich eine abzählbare Basis.

>
> [ok]
>  
> > Und ich glaub auch Hilberträume (unsicher).
>  
> Hilbertraeume haben so eine Basis genau dann, wenn sie
> separabel sind; siehe auch
> []hier.
>  


Da steht aber auch "Insbesondere besitzt also jeder separable und jeder vollständige Innenproduktraum eine Orthonormalbasis."
vollständiger Innenproduktraum meint doch Hilbertraum, oder? Also hat auch jeder Hilbertraum eine abzählbare Basis, egal ob er separabel ist oder nicht?!
Haben die sich da auf Wikipedia verschrieben, weil es ja in deinen anderen Links überall anders steht..


> Wie man solche Hilbertraeume erhalten kann steht u.a.
> []hier,
> und eine explizite einfache Konstruktion findest du
> []hier.
>  
> LG Felix
>  


Bezug
                        
Bezug
Räume mit abzählb.Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 So 03.07.2011
Autor: felixf

Moin!

> > >  Separable Räume haben natürlich eine abzählbare Basis.

> >
> > [ok]
>  >  
> > > Und ich glaub auch Hilberträume (unsicher).
>  >  
> > Hilbertraeume haben so eine Basis genau dann, wenn sie
> > separabel sind; siehe auch
> >
> []hier.
>  >  
>
>
> Da steht aber auch "Insbesondere besitzt also jeder
> separable und jeder vollständige Innenproduktraum eine
> Orthonormalbasis."
>  vollständiger Innenproduktraum meint doch Hilbertraum,
> oder? Also hat auch jeder Hilbertraum eine abzählbare
> Basis, egal ob er separabel ist oder nicht?!

Wie kommst du darauf, dass die Orthonormalbasis abzaehlbar sein muss? Es gibt auch ueberabzaehlbare Orthonormalbasen. Du kannst jeden Vektor im Raum halt als Linearkombination mit abzaehlbar vielen Elementen der Basis darstellen. Aber jeder Vektor kann eine andere abzaehlbare Auswahl der ueberabzaehlbar vielen Basiselementen gebrauchen.

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Räume mit abzählb.Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:59 So 03.07.2011
Autor: Blech

Hi,

für Banachräume allgemein heißt, was Du suchst, Schauderbasis. Zitat Wikipedia:



Sei $(X, [mm] \left\|\cdot\right\|)$ [/mm] ein Banachraum über dem Grundkörper [mm] $\mathbb{K} [/mm] = [mm] \mathbb{R}$ [/mm] oder [mm] $\mathbb{C}$. [/mm] Eine Folge [mm] $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] in X heißt Schauderbasis, falls jedes $x [mm] \in [/mm] X$ eindeutig als konvergente Reihe [mm] $\textstyle [/mm] x = [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \xi_n \cdot b_n, \; \xi_n \in \mathbb{K}$, [/mm] dargestellt werden kann.



Nicht jeder separable Banachraum hat eine Schauderbasis.

ciao
Stefan

Bezug
                
Bezug
Räume mit abzählb.Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:40 So 03.07.2011
Autor: felixf

Moin,

> für Banachräume allgemein heißt, was Du suchst,
> Schauderbasis. Zitat Wikipedia:
>  
>
>
> Sei [mm](X, \left\|\cdot\right\|)[/mm] ein Banachraum über dem
> Grundkörper [mm]\mathbb{K} = \mathbb{R}[/mm] oder [mm]\mathbb{C}[/mm]. Eine
> Folge [mm](b_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] in X heißt Schauderbasis,
> falls jedes [mm]x \in X[/mm] eindeutig als konvergente Reihe
> [mm]\textstyle x = \sum_{n=1}^{\infty} \xi_n \cdot b_n, \; \xi_n \in \mathbb{K}[/mm],
> dargestellt werden kann.
>  
>
>
> Nicht jeder separable Banachraum hat eine Schauderbasis.

etwas mehr Informationen kann man noch in []diesen Diskussionen finden. Bei allgemeinen Banachraeumen impliziert die Existenz einer Schauder-Basis, dass der Raum separabel ist. Aber nicht jeder separable Banach-Raum hat eine Schauder-Basis; es hat allerdings 40 Jahre gedauert, bis []jemand ein Beispiel fuer einen solchen separablen Banachraum ohne Schauder-Basis gefunden hat gefunden hat.

Weiterhin gibt es auf planetmath.org einen einfachen []Beweis, dass jeder normierte Vektorraum mit einer Schauderbasis bereits separabel ist.

LG Felix


Bezug
        
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Räume mit abzählb.Basis: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 Di 05.07.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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