Raketengleichung < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Man gebe eine Herleitung für [mm] v=v_{0}\ln|\frac{m_{Start}}{m_{End}}| [/mm] an, wobei [mm] v_{0} [/mm] die Austrittsgeschwindigkeit der Abgase der Rakete bezeichnet. |
Hallo,
irgendwie bin ich bei einer kleinen Sache dabei etwas durcheinander gekommen. Mein Ansatz: dm bezeichne die Masse, die als Abgase ausgestoßen wird. Wg. Impulserhaltung gilt:
[mm] (m+dm)v=mv'+dm(v-v_{0})\Rightarrow m\underset{dv}{\underbrace{(v'-v)}}=v_{0}dm. [/mm] An dieser Stelle erkennt man bereits, dass das falsch wird, weil [mm] v_{0} [/mm] entgegengesetzt zu dv wirkt, also da ein Minus davor stehen müsste. Ich dachte, dass ich das dadurch berücksichtigt habe, dass ich [mm] dm(v\mathbf{-}v_{0}) [/mm] schreibe. Das würde aber bedeuten, dass da eigentlich [mm] dm(v+v_{0}) [/mm] stehen müsste. Wenn man das so schreibt, kommt dann auch das richtige heraus.
Allerdings finde ich das komisch, da ja v und [mm] v_{0} [/mm] Geschwindigkeiten in entgegengesetzte Richtung sind, d.h. nach meinem Verständnis fliegen die Abgase mit [mm] v-v_{0} [/mm] weiter. Kann man das vernünftig erklären?
Ich könnte natürlich einfach sagen, dass [mm] v_{0} [/mm] dieselbe Rtg. hat wie v und dann die Abgageschwindigkeit entsprechend mit [mm] -v_{0} [/mm] kennzeichnen, aber dann würde ich wiederum nach meinem Verständnis nun schreiben, dass dm die Geschwindigeit [mm] (v+(-v_{0})) [/mm] besitzt, also wieder dasselbe Problem.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 So 02.01.2011 | | Autor: | Kroni |
Hi,
[mm]\mathrm{d}m[/mm] ist die Masse des Treibstoffes, der ausgestossen wird, oder? Dann musst du noch daran denken, dass [mm]\mathrm{d}m < 0[/mm] aus Sicht der Rakete.
Also eher, wenn [mm]m[/mm] die Masse der Raekte und [mm]v'[/mm] die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt [mm]t+\mathrm{d}t[/mm] ist und [mm]v_0[/mm] die konstante Stroemungsgeschw. des Gases und [mm]v[/mm] die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt [mm]t[/mm]
[mm](m-|\mathrm{d}m|)v = m\cdot v'-|\mathrm{d}m|(v-v_0)[/mm]
Denn [mm] $v_0$ [/mm] ist geht ja in die andere Richtung als $v$, so dass im ruhenden Bezugssystem, in dem sich die Rakete mit der Geschwindigkeit $v(m)$ bewegt, hat jedes Gasteilchen zum Zeitpunkt der Abstossung die Geschwindigkeit $v$ plus die Geschwindigkeit des Abstossens in die andere Richtung, also [mm] $v-v_0$, [/mm] weil sich ja die Gasteilchen dann langsamer rausbewegen.
Die Rechnung soweit passt also auch in deinem Fall, denn bei dir steht ja
[mm] $\mathrm{d}v [/mm] = [mm] \frac{v_0}{m}\mathrm{d}m$
[/mm]
Wenn du jetzt aber dir vorstellst, dass [mm] $\mathrm{d}m [/mm] <0$ ist und du dann [mm] $\mathrm{d}m [/mm] = [mm] -|\mathrm{d}m|$ [/mm] hinschreibst, bekommst du auch das Vorzeichen, das du wahrscheinlich gesucht hast.
LG
Kroni
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