Rand einer Funktion,Extremwert < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Skizzieren Sie die Menge D:= {(x,y) ∈ [mm] \IR^{2} [/mm] : [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] <= 1}. Bestimmen Sie den minimalen und den maximalen Funktionswert von f auf dieser Menge. Hinweis: Verwenden Sie die Darstellung [mm] y^{2} [/mm] = 1 - [mm] x^{2} [/mm] für die Umrechnung der Funktionswerte auf dem Rand.
f(x,y) = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] xy^{2} [/mm] |
Hallo,
Das Extremwertproblem habe ich bis zu dieser Aufgabe schon gelöst. Also die drei Extremwerte habe ich schon:
[mm] X_{1} [/mm] = (0,0) -> Minima
[mm] X_{2} [/mm] = [mm] (-1,\wurzel{2}) [/mm] ->Maxima
[mm] X_{3} [/mm] = [mm] (1,-\wurzel{2}) [/mm] -> weiter Untersuchen
Nun muss ich noch den Rand untersuchen und weiß nicht so recht wie ich das anstelle.
Mein Gedanke war zwei Gleichungen aufzustellen, die jeweils nur von x (siehe Hinweis) oder y (siehe Hinweis) abhängig sind. Dann wollte ich mir den Funktionswert f(x,y) an den Rändern anschauen.
Ist das korrekt oder gibt es noch andere Vorgehensweisen.
Vielen Dank für die Mühe
Moritz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Fr 19.03.2010 | | Autor: | Cybrina |
> Hallo,
Auch hallo.
> Das Extremwertproblem habe ich bis zu dieser Aufgabe schon
> gelöst. Also die drei Extremwerte habe ich schon:
> [mm]X_{1}[/mm] = (0,0) -> Minima
> [mm]X_{2}[/mm] = [mm](-1,\wurzel{2})[/mm] ->Maxima
> [mm]X_{3}[/mm] = [mm](1,-\wurzel{2})[/mm] -> weiter Untersuchen
Zunächst mal sind [mm] X_2 [/mm] und [mm] X_3 [/mm] außerhalb des Def.-Bereichs. Die musst du also gar nicht weiter betrachten. Unabhängig davon ist [mm] X_3 (-1,-\wurzel{2}) [/mm] nicht "+1". Außerdem sind [mm] X_2 [/mm] und [mm] X_3 [/mm] beides Sattelpunkte (wenn ich mich nicht irre) und keine Maxima.
> Nun muss ich noch den Rand untersuchen und weiß nicht so
> recht wie ich das anstelle.
>
> Mein Gedanke war zwei Gleichungen aufzustellen, die jeweils
> nur von x (siehe Hinweis) oder y (siehe Hinweis) abhängig
> sind. Dann wollte ich mir den Funktionswert f(x,y) an den
> Rändern anschauen.
>
> Ist das korrekt oder gibt es noch andere Vorgehensweisen.
Wenn ich dich richtig verstanden hab, dann machst du das genau richtig. Nur du brauchst keine 2 Gleichungen. Eine reicht schon eine. Die andere wäre davon quasi nur die Umkehrfunktion.
Dort bestimmt du also Maxima und Minima und vergleichst sie mit dem bereits gefundenen Minimum.
Viele Grüße,
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Vielen Dank für die Antwort.
Stimmt, X2 und X3 sind gar nicht mehr im Definitionsbereich, habe ich glatt übersehen.
Viele Grüße
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