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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Rand einer Menge
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Rand einer Menge: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:32 Mo 07.05.2018
Autor: Takota

Aufgabe
Aufgabe:

[mm] G:=\{(x,y,z)^T \varepsilon \IR^3 | x^2+y^2+z^2 < 1 \wedge \ z = \le 0 \}\varepsilon \IR^3 [/mm]

Entscheiden Sie, ob G offen, abgeschlossen oder keines von beiden ist.

Lösung:

obere Halbkugeloberfläche:

[mm] \partial_G_1 [/mm] = [mm] \{(x,y,z)^T \varepsilon \IR^3 | x^2+y^2 \le 1 \wedge \ z = \wurzel{1-x^2-y^2} \} [/mm]

Kreisscheibe:

[mm] \partial_G_2 [/mm] = [mm] \{(x,y,z)^T \varepsilon \IR^3 | x^2+y^2 < 1 \wedge \ z = 0 \} [/mm]

[mm] \partial_G [/mm] = [mm] \partial_G_1 \cup \partial_G_2 [/mm]

Die Menge G ist weder offen noch abgeschlosssen, weil einerseits die Randpunkte [mm] \partial_G_1 [/mm] nicht zu G gehören und andererseits die Randpunkte [mm] \partial_G_2 [/mm] zu G gehören.

Hallo,
leider verstehe den Lösungsweg nicht.

1) Warum muss unbedingt [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] = 1 gesetzt werden, also warum = 1 und nicht < 1 um den Rand der oberen Halbsphäre zu ermitteln? Es gilt ja r < 1.

2) Bei [mm] \partial_G_1 [/mm] wird [mm] x^2+y^2 \le [/mm] 1 gesetzt, warum hier gerade [mm] \le1 [/mm] ? Bei delta [mm] \partial_G_2 [/mm] gilt aber [mm] x^2+y^2 [/mm] < 1, also nur < 1?

3) Wie kommt man nun zum Schluß, das delta [mm] \partial_G_1 [/mm] keine Teilmenge von G ist und

4) ...delta [mm] \partial_G_2 [/mm] eine Teilmenge von G ist?

Kann mir das bitte jemand verständlich erklären.

Danke und Gruß
Takota


        
Bezug
Rand einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:09 Di 08.05.2018
Autor: ChopSuey

Hallo,

> Aufgabe:
>  
> [mm]G:=\{(x,y,z)^T \varepsilon \IR^3 | x^2+y^2+z^2 < 1 \wedge \ z = \le 0 \}\varepsilon \IR^3[/mm]
>  

Hier sollte $ z [mm] \ge [/mm] 0$ stehen, oder?

> Entscheiden Sie, ob G offen, abgeschlossen oder keines von
> beiden ist.
>  
> Lösung:
>  
> obere Halbkugeloberfläche:
>  
> [mm]\partial_G_1[/mm] = [mm]\{(x,y,z)^T \varepsilon \IR^3 | x^2+y^2 \le 1 \wedge \ z = \wurzel{1-x^2-y^2} \}[/mm]
>
> Kreisscheibe:
>  
> [mm]\partial_G_2[/mm] = [mm]\{(x,y,z)^T \varepsilon \IR^3 | x^2+y^2 < 1 \wedge \ z = 0 \}[/mm]
>
> [mm]\partial_G[/mm] = [mm]\partial_G_1 \cup \partial_G_2[/mm]
>  
> Die Menge G ist weder offen noch abgeschlosssen, weil
> einerseits die Randpunkte [mm]\partial_G_1[/mm] nicht zu G gehören
> und andererseits die Randpunkte [mm]\partial_G_2[/mm] zu G
> gehören.
>  Hallo,
>  leider verstehe den Lösungsweg nicht.
>  
> 1) Warum muss unbedingt [mm]x^2+y^2+z^2[/mm] = 1 gesetzt werden,
> also warum = 1 und nicht < 1 um den Rand der oberen
> Halbsphäre zu ermitteln? Es gilt ja r < 1.

Weil vom Rand die Rede ist. Die Menge $G$ ist das Innere der oberen Halbsphäre (zusammen mit der Kreisscheibe in der $x,y$-Ebene). Die Punkte mit Abstand $1$ (vom Mittelpunkt= Ursprung) bilden den Rand deiner Menge (obere Halbsphäre).

>  
> 2) Bei [mm]\partial_G_1[/mm] wird [mm]x^2+y^2 \le[/mm] 1 gesetzt, warum hier
> gerade [mm]\le1[/mm] ? Bei delta [mm]\partial_G_2[/mm] gilt aber [mm]x^2+y^2[/mm] < 1,
> also nur < 1?

Es ist [mm] $\partial_G_1 [/mm] = [mm] \{(x,y,z)^T \in \IR^3 | x^2+y^2 \le 1 \wedge \ z = \wurzel{1-x^2-y^2} \} [/mm] = [mm] \{(x,y,z)^T \in \IR^3 | x^2+y^2 < 1 \wedge z = \sqrt{1-x^2-y^2}\} \cup \{(x,y,z)^T \in \IR^3 | x^2+y^2 = 1 \wedge z = 0\} [/mm] $

Also (wie beschrieben) die obere Halbsphäre (=2dimensionaler Rand der dreidimensionalen Halbkugel mit Radius $r = 1$ für $z [mm] \ge [/mm] 0$)
Ich hab' den Rand [mm] $\partial G_1$ [/mm] also zur Verdeutlichung als Vereinigung von oberere Halbsphäre und dem Rand des "Bodens" (Einheitskreis in der $x,y$-Ebene) dargestellt. Damit wird vielleicht klar, weshalb $ [mm] x^2+y^2 \le [/mm] 1 $ gilt.

Bei [mm] $\partial G_2$ [/mm] gilt [mm] $x^2+y^2 [/mm] < 1$ weil das die (offene) Kreisscheibe in der $x,y$-Ebene ist.

Vereint man nun die obere Halbsphäre [mm] $\partial G_1$ [/mm] und die offene Kreisscheibe [mm] $\partial G_2$ [/mm] erhält man den Rand [mm] $\partial [/mm] G$ von $G$. (Wie gesagt beschreibt $G$ das Innere der oberen Halbsphäre)

>
> 3) Wie kommt man nun zum Schluß, das delta [mm]\partial_G_1[/mm]
> keine Teilmenge von G ist und

Weil [mm] $\partial G_1$ [/mm] mehr Punkte enthält, als $G$. Nämlich den Rand (der oberen Halbsphäre), der in $G$ gar nicht enthalten ist.

>
> 4) ...delta [mm]\partial_G_2[/mm] eine Teilmenge von G ist?

[mm] $G_2$ [/mm] ist die Kreisscheibe (ohne Rand), die sich über die $x,y$-Ebene erstreckt. Diese ist in $G$ enthalten, da $G$ wie oben gesagt das innere der oberen Halbsphäre beschreibt. [mm] $\partial G_2$ [/mm] ist quasi der "Boden" von $G$...

>
> Kann mir das bitte jemand verständlich erklären.
>  
> Danke und Gruß
>  Takota
>  

LG,
ChopSuey

Bezug
        
Bezug
Rand einer Menge: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:51 Di 08.05.2018
Autor: Takota

Hallo ChopSuey,

danke für die Rückmeldung. Was mir noch nicht ganz klar ist, warum der Einheitskreis-Rand der Menge [mm] \partial_G_1 [/mm] zugeordent wird. Könnte man den Einheitskreis-Rand dort nicht einfach weglassen - dann wäre [mm] \partial_G_1 [/mm] eine offene Menge - und würde den Einheitskreis-Rand der Menge [mm] \partial_G_2 [/mm] zuordnen diese wäre dann abgeschlossen?

LG
Takota




Bezug
                
Bezug
Rand einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Di 08.05.2018
Autor: ChopSuey

Hallo Takota,

> Hallo ChopSuey,
>  
> danke für die Rückmeldung. Was mir noch nicht ganz klar
> ist, warum der Einheitskreis-Rand der Menge [mm]\partial_G_1[/mm]
> zugeordent wird.

Weil [mm] $\partial G_1$ [/mm] gerade der Rand der oberen Halbsphäre ist. Ohne den Rand des Einheitskreises auf der $x,y$-Ebene, also bei $z=0$, wäre die Menge nicht mehr Rand der oberen Halbsphäre. Beachte, dass ein Rand (in einem topologischen Raum) stets abgeschlossen ist.

> Könnte man den Einheitskreis-Rand dort
> nicht einfach weglassen - dann wäre [mm]\partial_G_1[/mm] eine
> offene Menge

Naja, wir wollen ja gerade den Rand der oberen Halbsphäre betrachten. Dieser kann nicht offen sein. Das wäre also nicht zielführend und in sich widersprüchlich.

> und würde den Einheitskreis-Rand der Menge
> [mm]\partial_G_2[/mm] zuordnen diese wäre dann abgeschlossen?
>  
> LG
>  Takota
>  

Die Idee in eurem Lösungsvorschlag ist, zu zeigen, dass der Rand [mm] $\partial [/mm] G$ der Menge $G$ zwar Vereinigung der beiden Ränder [mm] $\partial G_1$ [/mm] und [mm] $\partial G_2$ [/mm] ist. Aber nicht beide Ränder (folglich nicht den ganzen Rand) enthält und deshalb weder offen noch abgeschlossen ist.

Etwas ausführlicher:

Würde $G$ nun beide Ränder [mm] $\partial G_1, \partial G_2$ [/mm] (also folglich den ganzen Rand [mm] $\partial [/mm] G = [mm] \partial G_1 \cup \partial G_2$) [/mm] enthalten, also wäre sowohl $ [mm] \partial G_1 \subset [/mm] G$ als auch  $ [mm] \partial G_2 \subset [/mm] G$, dann wäre $G$ abgeschlossen. Wären beide Ränder [mm] $\partial G_1, \partial G_2$ [/mm] nicht in $G$ enthalten, wäre  $G$ folglich offen. Eine Menge ist u.A. offen genau dann, wenn sie nur innere Punkte enthält oder dazu äquivalent, wenn sie zu ihrem Rand disjunkt ist.

Da allerdings der Rand der oberen Halbsphäre nicht zu [mm] $G_1$ [/mm] gehört, der "Boden" (also der "untere Rand" [mm] $\partial G_2$) [/mm] hingegen schon, ist $G$ weder offen noch abgeschlossen.

LG,
ChopSuey

Bezug
                        
Bezug
Rand einer Menge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:45 Di 08.05.2018
Autor: Takota

Hallo ChopSuey,

vielen Dank. Ich denke ich hab es soweit verstanden, vor allem der Hinweis das der Rand stets abgschlossen ist, war hilfreich.

LG
Takota

Bezug
                        
Bezug
Rand einer Menge: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:15 Di 08.05.2018
Autor: Takota

Hallo ChopSuey,

leider muß ich nochmal nachfragen :-)

Eine Eigenschaft eines Randes ist ja, daß Sie abgeschlossen ist.

Frage: Ist dann $ [mm] \partial G_2 [/mm] $ überhaupt ein Rand, da die Kreisscheibe offen, also ohne Rand ist? Vielleicht bringe ich jetzt auch ein paar Dinge, wie offen und abgeschlossen durcheinander?

LG
Takota

Bezug
                                
Bezug
Rand einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:16 Mi 09.05.2018
Autor: ChopSuey

Hallo Takota,

die Kreisscheibe ist offen im [mm] $\IR^2$. [/mm] Die Menge $G$ ist aber Teilmenge des [mm] $\IR^3$ [/mm] versehen mit der Standardtopologie. Dort bildet sie den zweidimensionalen (Teil)Rand der vorliegenden Menge $G$.

Der Rand einer Menge $ U $ besteht genau aus den Punkten, für die gilt, dass jede ihrer Umgebungen sowohl Punkte aus $U$ als auch Punkte, die nicht in $U$ liegen, enthält.

Sei nun $ [mm] \partial [/mm] G = [mm] \partial G_1 \cup \partial G_2$. [/mm] Dann gilt für jeden Punkt $ x [mm] \in \partial [/mm] G$ dass in jeder Umgebung Punkte aus [mm] $\partial [/mm] G$ sowie Punkte aus $ [mm] \IR^3\setminus \partial [/mm] G $ liegen.

Als Teilmenge des [mm] $\IR^2$ [/mm] wäre sie hingegen offen. Da unsere Umgebungen ja nur innerhalb der $x,y$-Ebene existieren würden und somit zu jedem Punkt der offenen Kreisscheibe stets eine Umgebung gefunden werden kann, die noch ganz in dieser liegt. Im [mm] $\IR^3$ [/mm] sind die Umgebungen eines jeden Punktes $x$ des [mm] $\IR^3$ [/mm] versehen mit der Standardtopologie aber gerade die offenen Kugeln [mm] $K_{\varepsilon}(x) \subset \IR^3$. [/mm]

Hoffe es ist jetzt klarer.

LG,
ChopSuey

Bezug
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