Rand ist leere Menge? < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:53 Fr 10.08.2012 | | Autor: | sqflo |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass im metrichen Raum [mm] $(\mathbb{R},d)$ [/mm] mit $d(x,y)=|x-y|$ folgende Aussage gilt: Hat [mm] $A\subset\mathbb{R}$ [/mm] einen leeren Rand, so ist [mm] $A=\emptyset$ [/mm] oder [mm] $A=\mathbb{R}$. [/mm] |
Dass [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] und [mm] $\emptyset$ [/mm] einen leeren Rand haben, ist klar (Bei [mm] \emptyset [/mm] ist das klar, denn die leere Menge hat jede Eigenschaft und bei [mm] \mathbb{R} [/mm] ist jeder Punkt innerer Punkt da jede offene Umgebung trivialerweise Teilmenge von [mm] \mathbb{R} [/mm] ist). Es muss noch gezeicht werden, dass [mm] $\emptyset\neq [/mm] A [mm] \subsetneq\mathbb{R}$ [/mm] keinen leeren Rand haben kann.
Sei also [mm] $\emptyset\neq [/mm] A [mm] \subsetneq\mathbb{R}$. [/mm] Wähle ein [mm] $x\in\mathbb{R}\setminus [/mm] A$. Dann sind [mm] $D=(-\infty,x)\cap [/mm] A$ oder [mm] $E=(x,\infty)\cap [/mm] A$ nicht leer.
$(i)$ Sei [mm] $D\neq\emptyset$: [/mm] Dann ist D nach oben beschränkt und $d:=sup(D)$ existiert. Es gilt also für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] >0$:
- Es gibt ein [mm] $v\in D:v>d-\varepsilon$
[/mm]
- Es gibt ein [mm] $w\in\mathbb{R}\setminus D:
Falls $x=d$, ist klar, dass [mm] $\forall\varepsilon>0:$ $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap A\neq\emptyset$ [/mm] und [mm] $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap(\mathbb{R}\setminus A)\neq\emptyset$
[/mm]
Falls nun [mm] $d\neq [/mm] x$ (also $d<x$), gibt es [mm] $\forall\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $w\in\mathbb{R}\setminus [/mm] A$, sodass [mm] $d+\varepsilon>w$ [/mm] und [mm] $w\in(d-\varepsilon,d+\varepsilon)$, [/mm] also [mm] $(d-\varepsilon,d+\varepsilon)\cap A\neq\emptyset\neq(d-\varepsilon,d+\varepsilon)\cap(\mathbb{R}\setminus [/mm] A)$. Also ist d Randpunkt und [mm] $\partial [/mm] A$ ist nicht leer.
$(ii)$ Die Argumentation für [mm] $E=(x,\infty)\cap [/mm] A$ ist analogm mit $inf(E)$.
Ist das so richtig?
lg
flo
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> Dass [mm]\mathbb{R}[/mm] und [mm]\emptyset[/mm] einen leeren Rand haben, ist
> klar (Bei [mm]\emptyset[/mm] ist das klar, denn die leere Menge hat
> jede Eigenschaft ...
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Die leere Menge hat jede Eigenschaft ??
Nein !
Sie hat zum Beispiel nicht die Eigenschaft, genau vier
Elemente zu besitzen.
Was du meinst, ist etwas anderes:
Ist A(x) eine Aussage über ein Element x, so gilt A(x) für
jedes Element x der leeren Menge - aus dem einfachen
Grund, dass es gar keine solchen Elemente x mit [mm] x\in\{\ \} [/mm] gibt.
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:26 Fr 10.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie, dass im metrichen Raum [mm](\mathbb{R},d)[/mm] mit
> [mm]d(x,y)=|x-y|[/mm] folgende Aussage gilt: Hat [mm]A\subset\mathbb{R}[/mm]
> einen leeren Rand, so ist [mm]A=\emptyset[/mm] oder [mm]A=\mathbb{R}[/mm].
>
> Dass [mm]\mathbb{R}[/mm] und [mm]\emptyset[/mm] einen leeren Rand haben, ist
> klar (Bei [mm]\emptyset[/mm] ist das klar, denn die leere Menge hat
> jede Eigenschaft
Moment! Nicht die leere Menge hat jede Eigenschaft, sondern jedes Element der leeren Menge hat jede Eigenschaft!
Die leere Menge hat zum Beispiel nicht die Eigenschaft, das ihr Rand gleich [mm] $\IR$ [/mm] ist.
Den Teil musst du genauer begruenden.
> und bei [mm]\mathbb{R}[/mm] ist jeder Punkt innerer
> Punkt da jede offene Umgebung trivialerweise Teilmenge von
> [mm]\mathbb{R}[/mm] ist).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Es muss noch gezeicht werden, dass [mm]\emptyset\neq A \subsetneq\mathbb{R}[/mm]
> keinen leeren Rand haben kann.
>
> Sei also [mm]\emptyset\neq A \subsetneq\mathbb{R}[/mm]. Wähle ein
> [mm]x\in\mathbb{R}\setminus A[/mm]. Dann sind [mm]D=(-\infty,x)\cap A[/mm]
> oder [mm]E=(x,\infty)\cap A[/mm] nicht leer.
>
> [mm](i)[/mm] Sei [mm]D\neq\emptyset[/mm]: Dann ist D nach oben beschränkt
> und [mm]d:=sup(D)[/mm] existiert. Es gilt also für jedes
> [mm]\varepsilon >0[/mm]:
>
> - Es gibt ein [mm]v\in D:v>d-\varepsilon[/mm]
> - Es gibt ein
> [mm]w\in\mathbb{R}\setminus D:
>
> Falls [mm]x=d[/mm], ist klar, dass [mm]\forall\varepsilon>0:[/mm]
> [mm](x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap A\neq\emptyset[/mm] und
> [mm](x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap(\mathbb{R}\setminus A)\neq\emptyset[/mm]
> Falls nun [mm]d\neq x[/mm] (also [mm]d0[/mm]
> ein [mm]w\in\mathbb{R}\setminus A[/mm], sodass [mm]d+\varepsilon>w[/mm] und
> [mm]w\in(d-\varepsilon,d+\varepsilon)[/mm], also
> [mm](d-\varepsilon,d+\varepsilon)\cap A\neq\emptyset\neq(d-\varepsilon,d+\varepsilon)\cap(\mathbb{R}\setminus A)[/mm].
> Also ist d Randpunkt und [mm]\partial A[/mm] ist nicht leer.
> [mm](ii)[/mm] Die Argumentation für [mm]E=(x,\infty)\cap A[/mm] ist analogm
> mit [mm]inf(E)[/mm].
Genau. Oder ersetz einfach $A$ durch $-A$ und $x$ mit $-x$, dann kannst du direkt Fall (i) verwenden.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Fr 10.08.2012 | | Autor: | sqflo |
Ups sorry, das war doof formuliert. Aber ich meinte das, was du und Al-Chw. geschrieben haben. Wenn man das gegen meine Aussage ersetzt, bekommt man doch "Jedes element der leere Menge ist kein Randpunkt" und somit wäre es gerettet, oder?
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> Ups sorry, das war doof formuliert. Aber ich meinte das,
> was du und Al-Chw. geschrieben haben. Wenn man das gegen
> meine Aussage ersetzt, bekommt man doch "Jedes element der
> leere Menge ist kein Randpunkt" und somit wäre es
> gerettet, oder?
Das scheint mir eine sonderbare "Rettung" zu sein ...
Lieber von vorn:
Du wolltest zuerst zeigen, dass der Rand der leeren Menge die
leere Menge ist. Zeige dies z.B., indem du auf die Definition
des Randes einer Menge zurückgehst:
[mm] $\partial\emptyset\ [/mm] =\ [mm] \overline{\emptyset}\ \smallsetminus\ \emptyset^{\circ}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Fr 10.08.2012 | | Autor: | fred97 |
Es ist lobenswert, dass Du noch zeigen willst, dass der Rand der leeren Menge leer ist. Verlangt war das nicht. Die Aufgabe lautet doch:
Hat $ [mm] A\subset\mathbb{R} [/mm] $ einen leeren Rand, so ist $ [mm] A=\emptyset [/mm] $ oder $ [mm] A=\mathbb{R} [/mm] $.
Für den Beweis gehe so vor:
Fall 1: $ [mm] A=\emptyset [/mm] $ . Dann sind wir fertig.
Fall 2: $ [mm] A=\mathbb{R} [/mm] $. Dann sind wir fertig.
Fall 3: $A [mm] \ne \emptyset [/mm] $ und $ A [mm] \ne \mathbb{R} [/mm] $. Jetzt kannst Du mit dem kommen, was Du oben formuliert hast.
FRED
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