Rand und Lösbarkeit von LGS < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebe Leutz,
ich habe da einige wohl recht einfache aber relativ kompliziert gestellte  Fragen:
wie genau hängen Rang der Koeffizientenmatrix, bzw. der erweiterten Koeffizientenmatrix zusammen. Ich weiß bereits, das (genau dann ???????) keine Lösung existiert, wenn der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix größer dem Rang der Koeffizientenmatrix ist. Wie ist das aber nun, wenn der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der Koeffizientenmatrix ist - gibt es dann genau eine Lösung? Und was sagt die Differenz von Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix und n (bei einer nxm Matrix) über die Dimension des Lösungsraums?
Hat eine reguläre Koeffizientenmatrix genau eine Lösung wenn sie lösbar ist und ist genau dann lösbar wenn ihr Rang gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist?
Für Tips wäre ich dankbar,
Klaus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Mo 13.06.2005 | | Autor: | mathedman |
Hast du denn schon mal einen Blick in ein Lehrbuch/Skript geworfen? Sowas sollte da eigentlich drin stehen.
*seufz*
Sei A eine (m,n)-Matrix.
Das LGS Ax = b
1) hat genau dann eine Lösung, falls rang A = rang (A,b).
2) hat genau dann für alle b eine Lösung, falls rang A = m.
3) hat genau dann für alle b höchstens eine Lösung, falls rang A = n.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:51 Mo 13.06.2005 | | Autor: | NECO |
> Hallo liebe Leutz,
> ich habe da einige wohl recht einfache aber relativ
> kompliziert gestellte Fragen:
> wie genau hängen Rang der Koeffizientenmatrix, bzw. der
> erweiterten Koeffizientenmatrix zusammen. Ich weiß
> bereits, das (genau dann ???????) keine Lösung existiert,
> wenn der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix größer
> dem Rang der Koeffizientenmatrix ist. Wie ist das aber
> nun, wenn der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix
> gleich dem Rang der Koeffizientenmatrix ist - gibt es dann
> genau eine Lösung?
Ein LGS Ax=b ist genau dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix A gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist.
und die Lösungsmenge ist ein afiiner Unterraum der Dimension n-Rang A.
Wenn jetz b=0 ist dann hat man ja homogene LGS also es gibt mehr als eine Lösungen.
Wenn aber b nicht 0 ist dann gib es genau eine Lösung. Also inhomogene LGS haben genau eine Lösung.
Und was sagt die Differenz von Rang der
> (erweiterten) Koeffizientenmatrix und n (bei einer nxm
> Matrix) über die Dimension des Lösungsraums?
> Hat eine reguläre Koeffizientenmatrix genau eine Lösung
> wenn sie lösbar ist und ist genau dann lösbar wenn ihr Rang
> gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist?
> Für Tips wäre ich dankbar,
> Klaus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Di 14.06.2005 | | Autor: | mathedman |
> Ein LGS Ax=b ist genau dann lösbar, wenn der Rang der
> Koeffizientenmatrix A gleich dem Rang der erweiterten
> Matrix ist.
Richtig.
> Wenn jetz b=0 ist dann hat man ja homogene LGS also es
> gibt mehr als eine Lösungen.
Nein.
Beispiel: A = [1,0; 0,1], b = 0. Hat nur die Lösung x = 0.
> Wenn aber b nicht 0 ist dann gib es genau eine Lösung.
Nein.
Beispiel: A = [1,0; 0, 0], b = [0,1]. Hat keine Lösung.
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