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Forum "mathematische Statistik" - Randdichtefunktion
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Randdichtefunktion: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:20 Di 28.07.2015
Autor: Rabenhorst

Aufgabe
Teil 1

Die stetigen ZUfallsvariablen X,Y besitzen für 0<=x, y<=1 und [mm] \alpha \in [/mm] [-1,1] die folgende gemeinsame Verteilungsfunktion:

[mm] F_{xy} [/mm] (xy) = xy + [mm] \alpha [/mm]xy (1-x)(1-y)

und die gemeinsame Dichtefunktion

[mm] f_{xy} [/mm] (xy) = 1 + [mm] \alpha [/mm](1-2x)(1-2y)

Zeigen Sie, dass

[mm] F_x [/mm] (x) = [mm]F_{x,y} [/mm] (x,1) = x

und

[mm] F_y [/mm] (y) = [mm]F_{x,y} [/mm] (1,y) = y

ist.

Teil 2

Geben Sie die Randdichtefunktion von X und Y an. Wie sind demnach die Ränder von X und Y verteilt?

Hallo,

meine Frage bezieht sich nur auf Teil 2 der Aufgabe.

Die Lösung  für [mm] f_x (x) [/mm] lautet:
[mm] f_x (x) [/mm]= [mm] \partial [/mm] [mm] F_x [/mm](x,y) / [mm] \partial [/mm]x =x / [mm] \partial [/mm]x =1

Meine Frage:

Wenn ich versuche das nachzurechnen komme ich auf einen Ausdruck den ich nicht weiter auflösen kann. Vermutlich muss man das Ergebnis aus Teil 1 verwenden, aber ich wüßte nicht wie. Wie errechnet man[mm] f_x (x) [/mm]?

        
Bezug
Randdichtefunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:50 Di 28.07.2015
Autor: Leopold_Gast

Du solltest mit den Bezeichnungen sorgfältiger sein. Es ist wichtig, ob das x groß oder klein geschrieben wird: Zufallsvariable oder reelle Variable. Auch ein kleines Komma kann entscheidend sein, damit man ein Paar von einem Produkt unterscheiden kann. Dein Beitrag ist daher schlecht lesbar, etwas unfreundlicher ausgedrückt: ziemlich verdorben.

Folgendes ist wohl gemeint:

Man hat auf dem Einheitsquadrat [mm]I^2 = [0,1]^2[/mm] eine gemeinsame Verteilung zweier Zufallsvariablen [mm]X,Y[/mm], nämlich

[mm]F_{X,Y} (x,y) = xy + \alpha \cdot xy (1-x) (1-y)[/mm]

Und auch noch ihre Dichte:

[mm]f_{X,Y} (x,y) = 1 + \alpha \cdot (1-2x) (1-2y)[/mm]

Es hätte übrigens genügt, die Dichte anzugeben, denn aus ihr kann man die Verteilung bestimmen:

[mm]F_{X,Y}(x,y) = \int_0^x \int_0^y f_{X,Y}(u,v) ~ \mathrm{d}v ~ \mathrm{d}u \, ; \ \ x,y \in [0,1][/mm]

Die Randverteilung für [mm]X[/mm] bekommst du nun, indem du im Integral über alle zulässigen [mm]y[/mm] integrierst, also [mm]y \in [0,1][/mm], mithin

[mm]F_X(x) = \int_0^x \int_0^1 f_{X,Y}(u,y) ~ \mathrm{d}y ~ \mathrm{d}u \, ; \ \ x \in [0,1][/mm]

Und die Dichte dann durch Ableiten:

[mm]f_X(x) = \left( F_X \right)'(x)[/mm]

Analog geht das auch für [mm]Y[/mm].

Bezug
                
Bezug
Randdichtefunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:30 Di 28.07.2015
Autor: Rabenhorst

Hallo, danke für deine Antwort.
> Dein Beitrag ist daher schlecht lesbar, etwas unfreundlicher ausgedrückt: ziemlich verdorben.

Nein, ist er nicht. Die Aufgabenstellung steht so auf einem Übungsblatt wie von mir beschrieben.

Nochmal in anderen Worten:
Für die Zufallsvariable X gilt: 0[mm]\le[/mm]x
Für die Zufallsvariable Y gilt: y[mm]\le[/mm]1

Frage 1)
In deinem Antwortartikel kann ich die Formeln nur als Code lesen. Werden Sie bei dir richtig angezeigt?

Frage 2)
In Teil 1 der Aufgabe hat man ja gezeigt:
$ [mm] F_x [/mm] $ (x) = $ [mm] F_{x,y} [/mm] $ (x,1) = x

Das wäre doch die Randverteilung von X oder?
Begründung: Da y[mm]\le[/mm]1 hat man im obigen Ausdruck die Wahrscheinlichkeitsmasse von allen möglichen Werten für y drin.

Frage 3)
Wenn ich das ableite habe ich die Randdichte von X (nämlich 1) und somit die Lösung, oder?

Viele Grüße

rabenhorst







Bezug
                        
Bezug
Randdichtefunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 Mi 29.07.2015
Autor: luis52

> Hallo, danke für deine Antwort.
> > Dein Beitrag ist daher schlecht lesbar, etwas
> unfreundlicher ausgedrückt: ziemlich verdorben.
>  
> Nein, ist er nicht. Die Aufgabenstellung steht so auf einem
> Übungsblatt wie von mir beschrieben.
>  
> Nochmal in anderen Worten:
>  Für die Zufallsvariable X gilt: 0[mm]\le[/mm]x
>  Für die Zufallsvariable Y gilt: y[mm]\le[/mm]1
>  
> Frage 1)
> In deinem Antwortartikel kann ich die Formeln nur als Code
> lesen. Werden Sie bei dir richtig angezeigt?
>  
> Frage 2)
>  In Teil 1 der Aufgabe hat man ja gezeigt:
>  [mm]F_x[/mm] (x) = [mm]F_{x,y}[/mm] (x,1) = x
>
> Das wäre doch die Randverteilung von X oder?

Moin, ja.

>  Begründung: Da y[mm]\le[/mm]1 hat man im obigen Ausdruck die
> Wahrscheinlichkeitsmasse von allen möglichen Werten für y
> drin.
>  
> Frage 3)
>  Wenn ich das ableite habe ich die Randdichte von X
> (nämlich 1) und somit die Lösung, oder?

Ja.



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