Randextrema im R^3 < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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[mm]f(x,y)= x^2 + xy + y^2 - 6x + 2 [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
D = {(x,y) [mm]R^2: x^2+y^2 <= 36 [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Bei dieser Ebene soll ich sämtliche Extrema bestimmen. Extrema im inneren hab ich schon. Nun will ich noch die Randextrema suchen.
Mein Ansatz hierzu:
Setze: [mm]y = 6 \sin t und x= 6 \cos t [/mm]
Wenn ich dies nun in die f(x,y) einsetze, ableite und 0 setzt erhalte ich
[mm]\cos 2t = - \sin t[/mm]
und damit folgende 3 Lösungen, die weiter unterscht werden müssen:
[mm]t_1= \bruch{\pi}{2}[/mm]
[mm]t_2= \bruch{7\pi}{6}[/mm]
[mm]t_1= \bruch{11\pi}{6}[/mm]
Wähle ich aber x und y umgekehrt, erhalte ich:
[mm]\cos 2t = \cos t[/mm]
und damit
t=0
Nun zu meiner Frage:
Ich vermute, die erste Lösung ist richtig, aber warum können überhaupt verschiedene Lösungen entstehen?
x und y sind doch beliebig festlegbar, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Do 15.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Mein Ansatz hierzu:
> Setze: [mm]y = 6 \sin t und x= 6 \cos t[/mm]
sieht gut aus.
> Wenn ich dies nun in die f(x,y) einsetze, ableite und 0
> setzt erhalte ich
> [mm]\cos 2t = - \sin t[/mm]
Wie kommst du darauf? Ich erhalte eher [m]cos^2(t)-sin^2(t)-cos(t)=0[/m]. Rechne doch damit mal weiter ... oder überprüfe mein Ergebnis.
> Nun zu meiner Frage:
> Ich vermute, die erste Lösung ist richtig, aber warum
> können überhaupt verschiedene Lösungen entstehen?
> x und y sind doch beliebig festlegbar, oder?
Du musst schon den ganzen Kreis durchlaufen, das ist wahr. Wenn du ihn aber anders parametrisierst, könen für unterschiedliche t's die gleichen x, y Werte herauskommen.
SEcki
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also, in f(x,y) eingesetzt erhält man:
[mm]g(t)=38+36 \sin t \cos t - 36 \cos t[/mm]
mit dem Theorem: [mm]\sin t * \cos t = \bruch {1}{2} * \sin 2t [/mm]
erhält man:
[mm]g(t)=38 + 18 \sin2t - 36 \cos t[/mm]
[mm]g'(t) = 36 \cos 2t + 36 \sin t [/mm]
bzw. mit dem 2. Ansatz:
[mm]g'(t) = 36 \cos 2t - 36 \cos t [/mm]
gibt es beim 2. Ansatz noch weitere Lösungen? Es müssen doch mindestens 2 Lösungen rauskommen, da eine geschlossene Kurve ja mind. einen Hoch- und einen Tiefpunt haben muss.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:49 Sa 17.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] cos(2*\pi/3)=cos(4*pi/3)
[/mm]
oder auch die Gleichung cos 2t-cost [mm] =cos^{2}t-sin^{2}t-cost =2cos^t-cost-1
[/mm]
benutzen qu. Gl. für cos lösen cost=1 und cost=-0.5
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Sa 17.09.2005 | | Autor: | SEcki |
Wo ist denn der Fehler? Ich habe blos anders abgeleitet ... das ist trotzdem richtig imo.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:34 So 18.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich denke auf die Frage wurde hinreichend eingegangen, so dass erst eine weitere Reaktion des Fragestellers (der zudem eine Antwort als falsch markiert hat ohne darauf einzugehen) erfolgen sollte.
Viele Grüße
Stefan
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