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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Julia92 |
| Aufgabe | | Ein Farmer besitzt einen 100m langen Zaun mit dem er eine Rechteckige Fläche abstecken will. Dabei will er eine vorhandene Mauer in der Längsseite von 40m länge als Abgrenzung mit benutzen. Welche Abmessung muss er wählen, damit die eingegränzte Fläche maximal wird? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich habe mir überlegt, das die Länge des Rechtecks 40+x sein muss, da die Mauer 40m lang ist und der Zaun(x) dazu kommt. Die Breite habe ich dann b genannt. Aber ich bin mir nun nicht so sicher wie die Haupt- und Nebenbedingung aussieht: Da eine Seite die Mauer hat ist sie (40+x) die gegenüberliegende Seite währe dann x(da dort keine Mauer ist)und dann $2*b$. Dann wäre die Gleichung $(40+x)+x+2*b=100m$
Stimmt das soweit? Und ist das die Haupt- oder Nebenbedingung?
Grüße Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
Du scheinst mir hier über Deine eigenen Bezeichnungen zu stolpern.
Am besten eine entsprechende Skizze machen.
Sei $x_$ die Länge des gesuchten Rechteckes und $b_$ die entsprechende Seite.
Damit ergibt sich als Grundrissfläche: $A \ = \ b*x$ .
Dieser Wert $A_$ ist zu maximieren und diese Gleichung die Hauptbedingung.
Nun zur Nebenbedingung. Diese ergibt sich aus der gegebenen Zaunlänge:
$$L \ = \ x+b+(x-40)+b \ = \ 2x+2b-40 \ = \ 100 \ [mm] \text{m}$$
[/mm]
Diese Gleichung nun nach $b \ = \ ...$ umstellen und in die obige Hauptbedingung einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo Loddar, nach deiner Variante wird aber vorausgesetzt, die 40m lange Mauer auf einer Länge von 5m abzutragen und im rechten Winkel wieder hochzuziehen, darum der Ansatz (40m+x), möchte man dies nicht, bleibt das Rechteck 40m mal 30m, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Mo 14.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo Steffi
deine Rechnung ergibt eben dann x=-5m , was ja dasselbe ist wie Loddars.
Man bekommt hier mit der Nebenbedingung eben ein Randmaximum, und kein lokales.
Für die Fragende.
Man bekommt ein x raus, das aber nicht zu der Aufgabe passt.
jetzt muss man überlegen, was man dann tun kann,
a) nicht die ganze Mauer verwenden, oderb) eben dann die 40m mal 30m
verwenden.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Julia92 |
Also nach b umstellen: $2x+2b-40=100m$
$2b=60m-2x$
$b=30m-x$
Und dann in die Hauptbedingung $A(x)=(40+x)*(30-x)$
[mm] $A(x)=-x^{2}-10x+1200$
[/mm]
Stimmt das so? Und muss ich jetzt die Extrema berechnen?
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Hallo, wie stellst du denn Gleichungen um?
2x+2b-40=100
2x+2b=140
x+b=70
b=70-x
A(b,x)=b*x
A(x)=(70-x)*x
[mm] A(x)=70x-x^{2}
[/mm]
jetzt 1. Ableitung gleich Null setzen, beachte dann die Randwerte
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Julia92 |
Hey,
ich denke mir ist bei der Rechnung ein Fehler unterlaufen, es muss doch $x+40$ heißen, da 40m die Mauer ist und x dann der Zaun der benötigt wird, um die Längsseite zu umzäumen.Stimmt das so?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Julia92 |
Also ich habe jetzt die Ableitung von meiner errechneten Zielfunktion berechnet:
[mm] $A(x)=-x^{2}-10x+1200$
[/mm]
$A'(x)=-2x-10$
$0=-2x-10$
$2x=-10$
$x=-5$
Dann habe ich die Hinreichende Bedingung durchgeführt:
$A''(x)=-2<0" Also liegt bei x=-5 ein Maximum. Das würde aber dann bedeuten, dass der Farmer die vorhandene Begrenzung abreißen müsste...´was ist nun zu tun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Di 15.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast ja schon die richtige überschrift. x sollte>0 sein, das schreibt man am besten dazu. jetzt muss du untersuchen, ob es für [mm] x\ge0 [/mm] in randmaximum gibt. deine Funktion ist ne Parabel mit demm höchsten Punkt bei -5, der liegt ausserhalb des zugelassenen Bereichs. also musst du die Ränder des Gebiets untersuchen, 1, x=0 dann wird der Zaaun 40,30,40,30 lang, die Fläche 40*30. wenn man x größer macht fällt die parabel bis sie bei x=30 0 wird. x>30 geht nicht.
Du sollst dabei lernen, dass bei praktischen problmn nicht immer das lokale Max die lösung ist.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Di 15.06.2010 | | Autor: | leduart |
Die Rechnung war nicht falsch. einmal hast du die ganze Länge x genannt, das andere mal nur das Stück mehr als 40. im einen Fall kriegst du dann x=36 raus, also auch zu wenig, im anderen -5 was ja auch auf die länge 35 führt.
Gruss leduart
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