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| Aufgabe | | Betrachten Sie die Differentialgleichung y''=y auf [0,1] zusammen mit den Randbedingungen [mm] y(0)=y_0 [/mm] und [mm] y(1)=y_1. [/mm] Für welche Paare [mm] (y_0,y_1) \in \IR [/mm] hat das entsprechende RWP eine Lösung? Für welche [mm] (y_0,y_1) [/mm] ist diese Lösung eindeutig? |
Hallo zusammen!
Als gemeine Lösung haben wir in der vorherigen Teilaufgabe schon [mm] y=c_1e^x+c_2e^{-x} [/mm] raus. Dann haben wir die Randbedingungen eingesetzt und zwei Gleichungen aufgestellt:
(I) [mm] c_1+c_2=y_0
[/mm]
(II) [mm] c_1*e+c_2+e^{-1}=y_1
[/mm]
Nun fragen wir uns, ob man das Gleichungssystem nach [mm] y_0/y_1 [/mm] auflösen muss. Dann würde man ja irgendwelche Ergebnisse in Abhängigkeit von c erhalten, diese sind dann ja nicht eindeutig, oder?
Vielen Dank für eure Hilfe!
LG Anil
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Sa 22.10.2016 | | Autor: | Helbig |
Guten Abend,
y0 und y1 ist gegeben. Und ihr muesst c1 und c2 bestimmen.
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Danke erstmal! Das heißt...
[mm] c_1=y_0-\bruch{y_1-y_0*e}{e^(-1) -e} [/mm] und [mm] c_2=\bruch{y_1-y_0*e}{e^(-1)-e}
[/mm]
Stimmt das?
Und woher sieht man, dass die Lsg eindeutig ist? So ganz habe ich das nicht verstanden...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Sa 22.10.2016 | | Autor: | Helbig |
Das rechne ich jetzt nicht nach  .
Wir haben hier ein lineares Gleichungssystem vor uns. Existenz und Eindeutigkeit folgt mit Mitteln der linearen Algebra.
Gruss,
Wolfgang
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Okay, und was kann ich jetzt über das Lösungsverhalten aussagen?
Die Frage war ja, für welche [mm] y_0/y_1 [/mm] das RWP eine Lösung hat bzw. wann diese eindeutig ist...
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Hiho,
> Okay, und was kann ich jetzt über das Lösungsverhalten aussagen?
Das sollst du uns ja verraten!
> Die Frage war ja, für welche [mm]y_0/y_1[/mm] das RWP eine Lösung hat bzw. wann diese eindeutig ist...
Wo dir bereits ein Tipp gegeben wurde, wie das zu bestimmen ist.
Du hast ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten
Wann ist dieses
i) lösbar
ii) eindeutig lösbar
iii) nicht lösbar
Dir wurde bereits der Hinweis gegeben, dass dies lineare Algebra Grundwissen ist. In jedem Mathematikstudium wird das etwa in Woche 4 erläutert. Daher solltest du das nun selbst beantworten.
Gruß,
Gono
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