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| Aufgabe | DGL:
[mm] y=f(x)=-k_{0}*y''+r(x) [/mm] mit [mm] r(x)=k_{1}*Sin(x+\varphi)
[/mm]
Anfangsbedingungen:
[mm] y(0)=y(x_{1})+a_{0} [/mm] , [mm] a_{0} [/mm] > 0
[mm] y'(0)=a_{1} [/mm] , [mm] a_{1} [/mm] > 0
Randbedingungen:
[mm] y(x_{1})=r(x_{1})
[/mm]
[mm] y'(x_{1})=a_{1}
[/mm]
[mm] y''(x_{1})=0
[/mm]
mit
0 [mm] \le x_{1} \le 2*\pi [/mm] |
Also die DGL kann ich mittels Laplace lösen.
Da erhalte ich y in der Form
y(x)= [mm] \bruch{\wurzel{k_{0}}*A*Sin(\bruch{x}{\wurzel{k_{0}}})+B*Cos(\bruch{x}{\wurzel{k_{0}}})-k_{1}*Sin(x+\varphi)}{k_{0}-1} [/mm] mit [mm] A=y'(0)*(k_{0}-1)+k_{1}*Cos(\varphi) [/mm] , [mm] B=y(0)*(k_{0}-1)+k_{1}*Sin(\varphi)
[/mm]
Diese Funktion erfüllt mir jetzt die Anfangsbedingungen. Im nächsten Schritt habe ich [mm] y(x_{1}), y'(x_{1}) [/mm] und [mm] y''(x_{1}) [/mm] den o.g. Randbedingungen gleichgesetzt: Es ergibt sich ein für mich nicht lösbares Gleichungssystem :-(
Es ist mir klar, dass es unendlich viele Lsgen der DGL mit den gegebeben Bedingungen gibt. Ich brauche Aussagen über die Wahl der Parameter [mm] k_{0},k_{1},a_{0},a_{1},\varphi [/mm] so dass ein y existiert.
In der Mathematik nennt man das ganze Randwertproblem, oder? Gibt es irgendwelche Sätze oder Verfahren die mir weiter helfen könnten. Sind noch zusätzliche Randbedingungen (Beschränktheit von y o.ä.) hilfreich?
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo maltschick,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> DGL:
> [mm]y=f(x)=-k_{0}*y''+r(x)[/mm] mit [mm]r(x)=k_{1}*Sin(x+\varphi)[/mm]
>
> Anfangsbedingungen:
> [mm]y(0)=y(x_{1})+a_{0}[/mm] , [mm]a_{0}[/mm] > 0
> [mm]y'(0)=a_{1}[/mm] , [mm]a_{1}[/mm] > 0
>
> Randbedingungen:
> [mm]y(x_{1})=r(x_{1})[/mm]
> [mm]y'(x_{1})=a_{1}[/mm]
> [mm]y''(x_{1})=0[/mm]
>
> mit
> 0 [mm]\le x_{1} \le 2*\pi[/mm]
> Also die DGL kann ich mittels
> Laplace lösen.
> Da erhalte ich y in der Form
>
> y(x)=
> [mm]\bruch{\wurzel{k_{0}}*A*Sin(\bruch{x}{\wurzel{k_{0}}})+B*Cos(\bruch{x}{\wurzel{k_{0}}})-k_{1}*Sin(x+\varphi)}{k_{0}-1}[/mm]
> mit [mm]A=y'(0)*(k_{0}-1)+k_{1}*Cos(\varphi)[/mm] ,
> [mm]B=y(0)*(k_{0}-1)+k_{1}*Sin(\varphi)[/mm]
Das ist die Lösung für den Fall [mm]k_{0}>0 \wedge k_{0}\not=1[/mm]
>
> Diese Funktion erfüllt mir jetzt die Anfangsbedingungen.
> Im nächsten Schritt habe ich [mm]y(x_{1}), y'(x_{1})[/mm] und
> [mm]y''(x_{1})[/mm] den o.g. Randbedingungen gleichgesetzt: Es
> ergibt sich ein für mich nicht lösbares Gleichungssystem
> :-(
> Es ist mir klar, dass es unendlich viele Lsgen der DGL mit
> den gegebeben Bedingungen gibt. Ich brauche Aussagen über
> die Wahl der Parameter [mm]k_{0},k_{1},a_{0},a_{1},\varphi[/mm] so
> dass ein y existiert.
>
> In der Mathematik nennt man das ganze Randwertproblem,
> oder? Gibt es irgendwelche Sätze oder Verfahren die mir
> weiter helfen könnten. Sind noch zusätzliche
> Randbedingungen (Beschränktheit von y o.ä.) hilfreich?
Die Bedingungen an die Parameter [mm]k_{0},k_{1},a_{0},a_{1},\varphi[/mm]
bekommst Du aus den Randbedingungen.
>
> Vielen Dank
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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