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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Randwertproblem
Randwertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Randwertproblem: bin mir unsicher
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:41 Mi 16.01.2013
Autor: mikexx

Aufgabe
Hallo, zu lösen ist folgendes Randwertproblem:

(i) [mm] $-f=\lambda [/mm] f''(x)$

(ii) $f(1)=0$

(iii) $f'(0)=0$

Ich habe als allgemeine Lösung von (i) erstmal Folgendes berechnet:


[mm] $f(x)=C_1\sin\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}x\right)+C_2\cos\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}x\right)$ [/mm]


Stimmt das wohl? Und wenn ja, wie macht man denn nun weiter?



Viele Grüße für Euch

        
Bezug
Randwertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Mi 16.01.2013
Autor: fred97


> Hallo, zu lösen ist folgendes Randwertproblem:
>  
> (i) [mm]-f=\lambda f''(x)[/mm]
>  
> (ii) [mm]f(1)=0[/mm]
>  
> (iii) [mm]f'(0)=0[/mm]
>  Ich habe als allgemeine Lösung von (i) erstmal Folgendes
> berechnet:
>  
>
> [mm]f(x)=C_1\sin\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}x\right)+C_2\cos\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}x\right)[/mm]
>  
>
> Stimmt das wohl? Und wenn ja, wie macht man denn nun
> weiter?

Bestimme [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] so, dass  $ f(1)=0 $ und  $ f'(0)=0 $

gilt.

FRED

>  
>
>
> Viele Grüße für Euch


Bezug
                
Bezug
Randwertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 Mi 16.01.2013
Autor: mikexx

Wie macht man das?

Ich habe zwei Gleichungen aufgestellt:

[mm] $f(1)=C_1\sin\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}\right)+C_2\cos\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}\right)=0$ [/mm]

und

[mm] $f'(0)=C_1\cdot\sqrt{\frac{1}{\lambda}}=0$ [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Randwertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 Mi 16.01.2013
Autor: schachuzipus

Hallo mikexx,


> Wie macht man das?
>  
> Ich habe zwei Gleichungen aufgestellt:
>  
> [mm]f(1)=C_1\sin\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}\right)+C_2\cos\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}\right)=0[/mm]
>  
> und
>  
> [mm]f'(0)=C_1\cdot\sqrt{\frac{1}{\lambda}}=0[/mm]

Das sieht richtig aus!

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Randwertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 Mi 16.01.2013
Autor: mikexx

Das ist schonmal super. :-)

Nur, wie berechnet man damit jetzt die beiden Konstanten?


Also eine mögliche Kombination ist [mm] $C_1=0=C_2$. [/mm]

Aber ist noch mehr möglich?

Bezug
                                        
Bezug
Randwertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 Mi 16.01.2013
Autor: MathePower

Hallo mikexx,

> Das ist schonmal super. :-)
>  
> Nur, wie berechnet man damit jetzt die beiden Konstanten?
>  
>
> Also eine mögliche Kombination ist [mm]C_1=0=C_2[/mm].
>  


Das ist die triviale Lösung.


> Aber ist noch mehr möglich?


Aus der Gleichung

[mm]f'(0)=C_1\cdot\sqrt{\frac{1}{\lambda}}=0[/mm]

folgt zunächst [mm]C_{1}=0[/mm].

Dann folgt aus der Gleichung

[mm]f(1)=C_1\sin\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}\right)+C_2\cos\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}\right)=0[/mm]

[mm]\rightarrow C_2\cos\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}\right)=0[/mm]

Um  jetzt eine nicht-triviale Lösung zu erhalten, muß

[mm]\cos\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}\right)=0[/mm]

erfüllt werden.

Daraus erhältst Du dann die möglichen Werte für [mm]\lambda[/mm].


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Randwertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:46 Mi 16.01.2013
Autor: mikexx

Danke, MathePower.

Also ich habe dann heraus

[mm] §\lambda=\frac{1}{(n-1/2)^2\pi^2}, n\in\mathbb{Z}$. [/mm]


Korrekt?

Bezug
                                                        
Bezug
Randwertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:58 Mi 16.01.2013
Autor: MathePower

Hallo mikexx,

> Danke, MathePower.
>  
> Also ich habe dann heraus
>  
> [mm]§\lambda=\frac{1}{(n-1/2)^2\pi^2}, n\in\mathbb{Z}$.[/mm]
>  
>
> Korrekt?


Ja. [ok]


Gruss
MathePower

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