Randwertproblem partielle DGL < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man bestimme mit Hilfe der Laplace-Transformation eine für fixes t beschränkte Lösung des Problems:
[mm] DGL:U_{tt}=9U_{xx}+sin(3t), [/mm] x>0, t>0
RB: U(0,t)=sin(t), t>0
AB: [mm] U(x,0)=U_t(x,0)=0, [/mm] x>0 |
Hallo,
Für meine DGL bekomme ich heraus:
[mm] U_{xx}-(\bruch{s}{3})^2*U=\bruch{1}{3*(s^2+9)}
[/mm]
Nun berechne ich die homogene und die partikuläre Lösung.
homogen:
[mm] U(x,s)=A*e^{\bruch{s*x}{3}}+B*e^{\bruch{-s*x}{3}}
[/mm]
partikulär:
[mm] Ansatz->U_p=C U_p''=0
[/mm]
d.h. [mm] C=\bruch{3}{s^2*(s^2+9)}
[/mm]
gesammt LSG der DGL: [mm] U(x,s)=A*e^{\bruch{s*x}{3}}+B*e^{\bruch{-s*x}{3}}+\bruch{3}{s^2*(s^2+9)}
[/mm]
Nun folgt die Transformation der RB:
L[U(0,t)] => [mm] U(0,s)=\bruch{1}{s^2+1}
[/mm]
Dananch Berechnung von A u. B:
Da, der Teil der DGL mit dem Koeffizient A niemals 0 ergeben würde muss er 0 gesetzt werden. Daraus folgt:
U(0,s): [mm] B+\bruch{3}{s^2*(s^2+9)}=\bruch{1}{s^2+1}
[/mm]
[mm] B=\bruch{1}{s^2+1}-\bruch{3}{s^2*(s^2+9)}
[/mm]
[mm] U(x,s)=e^{\bruch{-s*x}{3}}*(\bruch{1}{s^2+1}-\bruch{3}{s^2*(s^2+9)})+\bruch{3}{s^2*(s^2+9)}
[/mm]
[mm] L^{-1}[U(x,s)]=sin(t-\bruch{x}{3})+\bruch{1}{3}*cos(3(t-\bruch{x}{3}))+\bruch{1}{3}*(t-\bruch{x}{3})+\bruch{1}{3}*cos(3t)+\bruch{1}{3}*t
[/mm]
Stimmt meine Rechnung/Vorgehen?
Bitte um Hilfe.
mfg Double
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Di 03.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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