Rang(A) = Rang(A´) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Di 03.12.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Es seien A, A´ [mm] \in [/mm] Mat(m, n; K). Dabei gehe A´ aus A durch eine Folge von Zeilenoperationen (bzw Spaltenoperationen) hervor. Dann folgt:
Z-Rang(A) = Z-Rang(A´) (bzw S-Rang(A) = S-Rang(A´) |
Hallo.
Also wie man den Rang berechnet, ist mir vollkommen klar und auch, dass gilt:
Z-Rang(A) = Z-Rang(A´) (bzw S-Rang(A) = S-Rang(A´).
Aber wie soll ich das allgemein zeigen? Hat jemand einen Vorschlag?
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Hallo,
> Zeigen Sie: Es seien A, A´ [mm]\in[/mm] Mat(m, n; K). Dabei gehe
> A´ aus A durch eine Folge von Zeilenoperationen (bzw
> Spaltenoperationen) hervor. Dann folgt:
>
> Z-Rang(A) = Z-Rang(A´) (bzw S-Rang(A) = S-Rang(A´)
> Hallo.
>
> Also wie man den Rang berechnet, ist mir vollkommen klar
> und auch, dass gilt:
>
> Z-Rang(A) = Z-Rang(A´) (bzw S-Rang(A) = S-Rang(A´).
Warum gilt das denn?
>
> Aber wie soll ich das allgemein zeigen? Hat jemand einen
> Vorschlag?
Zeige dass elementare Zeilenumformungen nicht den Rang ändern.
Zeige dass [mm] $span(v_1,...,v_k,...,v_n)=span(v_1,...\lambda{}v_k,...,v_n)$,
[/mm]
und dass [mm] $span(v_1,...,v_k,...,v_n)=span(v_1,...,v_k+\lambda{}v_l,...,v_n)$ [/mm]
Gruß helicopter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Di 03.12.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> Hallo,
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> > Zeigen Sie: Es seien A, A´ [mm]\in[/mm] Mat(m, n; K). Dabei gehe
> > A´ aus A durch eine Folge von Zeilenoperationen (bzw
> > Spaltenoperationen) hervor. Dann folgt:
> >
> > Z-Rang(A) = Z-Rang(A´) (bzw S-Rang(A) = S-Rang(A´)
> > Hallo.
> >
> > Also wie man den Rang berechnet, ist mir vollkommen klar
> > und auch, dass gilt:
> >
> > Z-Rang(A) = Z-Rang(A´) (bzw S-Rang(A) = S-Rang(A´).
>
> Warum gilt das denn?
Na weil Zeilenoperationen ja die Matrix nicht ändern. Dementsprechend wird ja auch der Rang nicht verändert.
>
> >
> > Aber wie soll ich das allgemein zeigen? Hat jemand einen
> > Vorschlag?
>
> Zeige dass elementare Zeilenumformungen nicht den Rang
> ändern.
>
> Zeige dass
> [mm]span(v_1,...,v_k,...,v_n)=span(v_1,...\lambda{}v_k,...,v_n)[/mm],
> und dass
> [mm][mm] span(v_1,...,v_k,...,v_n)=span(v_1,...,v_k+\lambda{}v_l,...,v_n)
[/mm]
[mm] span(v_1,...,v_k,...,v_n) [/mm] ist eine Basis und die Vektoren in der Basis sind linear unabhängig voneinander. Das heißt, dass kein Vektor durch andere Vektoren in der Basis darstellbar ist.
[mm] span(v_1,...,v_k,...,v_n)=span(v_1,...\lambda{}v_k,...,v_n)
[/mm]
Ist immer noch dieselbe Basis, nur dass halt ein Vektor als Vielfaches dargestellt wird.
Bei [mm] span(v_1,...,v_k,...,v_n)=span(v_1,...,v_k+\lambda{}v_l,...,v_n)
[/mm]
Hier wird von einer Basis eine andere abgezogen aber das ändert das ja auch nicht wirklich...
Mit dem span kenn ich mich noch nicht so gut aus... Ich kann ja nicht den ganzen span mit einem beliebigen Skalar multiplizieren, da multiplizier ich ja alle BAsen..
> Gruß helicopter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Di 03.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > > Zeigen Sie: Es seien A, A´ [mm]\in[/mm] Mat(m, n; K). Dabei gehe
> > > A´ aus A durch eine Folge von Zeilenoperationen (bzw
> > > Spaltenoperationen) hervor. Dann folgt:
> > >
> > > Z-Rang(A) = Z-Rang(A´) (bzw S-Rang(A) = S-Rang(A´)
> > > Hallo.
> > >
> > > Also wie man den Rang berechnet, ist mir vollkommen klar
> > > und auch, dass gilt:
> > >
> > > Z-Rang(A) = Z-Rang(A´) (bzw S-Rang(A) = S-Rang(A´).
> >
> > Warum gilt das denn?
>
> Na weil Zeilenoperationen ja die Matrix nicht ändern.
Natürlich tun sie das !!
> Dementsprechend wird ja auch der Rang nicht verändert.
Ja, das stimmt.
>
> >
> > >
> > > Aber wie soll ich das allgemein zeigen? Hat jemand einen
> > > Vorschlag?
> >
> > Zeige dass elementare Zeilenumformungen nicht den Rang
> > ändern.
> >
> > Zeige dass
> >
> [mm]span(v_1,...,v_k,...,v_n)=span(v_1,...\lambda{}v_k,...,v_n)[/mm],
> > und dass
> >
> [mm][mm]span(v_1,...,v_k,...,v_n)=span(v_1,...,v_k+\lambda{}v_l,...,v_n)[/mm]
[mm]span(v_1,...,v_k,...,v_n)[/mm] ist eine Basis
Nein ! Warum sollte diese lineare Hülle eine Basis sein ? Und von was denn ??
> und die Vektoren in der Basis sind linear unabhängig voneinander. Das heißt, dass kein Vektor durch andere Vektoren in der Basis darstellbar ist.
Jetzt wirds aber arg verqueer ... ?
[mm]span(v_1,...,v_k,...,v_n)=span(v_1,...\lambda{}v_k,...,v_n)[/mm]
Ist immer noch dieselbe Basis, nur dass halt ein Vektor als Vielfaches dargestellt wird.
Nix Basis !!!
Bei [mm]span(v_1,...,v_k,...,v_n)=span(v_1,...,v_k+\lambda{}v_l,...,v_n)[/mm]
Hier wird von einer Basis eine andere abgezogen aber das ändert das ja auch nicht wirklich...
Unfug !!!!
FRED
Mit dem span kenn ich mich noch nicht so gut aus... Ich kann ja nicht den ganzen span mit einem beliebigen Skalar multiplizieren, da multiplizier ich ja alle BAsen..
> Gruß helicopter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Di 03.12.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Nochmal:
> Hallo,
>
> > Zeigen Sie: Es seien A, A´ [mm]\in[/mm] Mat(m, n; K). Dabei gehe
> > A´ aus A durch eine Folge von Zeilenoperationen (bzw
> > Spaltenoperationen) hervor. Dann folgt:
> >
> > Z-Rang(A) = Z-Rang(A´) (bzw S-Rang(A) = S-Rang(A´)
> > Hallo.
> >
> > Also wie man den Rang berechnet, ist mir vollkommen klar
> > und auch, dass gilt:
> >
> > Z-Rang(A) = Z-Rang(A´) (bzw S-Rang(A) = S-Rang(A´).
>
> Warum gilt das denn?
Spaltenoperationen ändern den Rang nicht.
> > Aber wie soll ich das allgemein zeigen? Hat jemand einen
> > Vorschlag?
>
> Zeige dass elementare Zeilenumformungen nicht den Rang
> ändern.
>
> Zeige dass
> [mm]span(v_1,...,v_k,...,v_n)=span(v_1,...\lambda{}v_k,...,v_n)[/mm],
> und dass
> [mm][mm] span(v_1,...,v_k,...,v_n)=span(v_1,...,v_k+\lambda{}v_l,...,v_n)
[/mm]
Die lineare Hülle ist ein Untervektorraum von A, und zwar der
kleinste Untervektorraum, der A enthält.
[mm] span(v_1,...,v_k,...,v_n)=span(v_1,...\lambda{}v_k,...,v_n)
[/mm]
Wenn ich jetzt hier also ein v mit einem Skalar multipliziere, ändert sich am Untervektorraum ja nichts. Aber wie soll ich das Skalar da reinbekommen, bzw wie fängt der Beweis an?
[mm] span(v_1,...,v_k,...,v_n)=span(v_1,...,v_k+\lambda{}v_l,...,v_n)
[/mm]
Hier wird ja von einem Vektor das Vielfache eines anderen abgezogen. Das ändert meines Erachtens nach den Unterraum auch nicht.
> Gruß helicopter
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Hallo,
> Die lineare Hülle ist ein Untervektorraum von A, und zwar der
> kleinste Untervektorraum, der A enthält.
Naja jeder Vektorraum ist ein Untervektorraum von sich selbst... Und was soll A sein?
Schau dir die Definition von der Linearen Hülle noch einmal genauer an.
> [mm]span(v_1,...,v_k,...,v_n)=span(v_1,...\lambda{}v_k,...,v_n)[/mm]
>
> Wenn ich jetzt hier also ein v mit einem Skalar multipliziere, ändert sich am Untervektorraum ja nichts. Aber wie soll ich das Skalar da
> reinbekommen, bzw wie fängt der Beweis an?
Zum Beispiel so: Zeige dass: [mm] $span(v_1,...,v_k,...,v_n)\subset{}span(v_1,...\lambda{}v_k,...,v_n)$ [/mm] und [mm] $span(v_1,...\lambda{}v_k,...,v_n)\subset{}span(v_1,...,v_k,...,v_n)$
[/mm]
[mm] $span(v_1,...\lambda{}v_k,...,v_n)\subset{}span(v_1,...,v_k,...,v_n)$:
[/mm]
Sei [mm] $v\in{}span(v_1,...\lambda{}v_k,...,v_n)$ [/mm] beliebig, dann ist [mm] $v=\lambda_{1}*v_{1}+...+\lambda*(\lambda_{k}*v_{k})+...+\lambda_{n}*v_{n}=\lambda_{1}*v_{1}+...+(\lambda*\lambda_{k})*v_{k}+...+\lambda_{n}*v_{n}\in{}span(v_1,...,v_k,...,v_n).
[/mm]
Analog die andere Richtung.
>
> [mm]span(v_1,...,v_k,...,v_n)=span(v_1,...,v_k+\lambda{}v_l,...,v_n)[/mm]
>
> Hier wird ja von einem Vektor das Vielfache eines anderen abgezogen. Das ändert meines Erachtens nach den Unterraum auch nicht.
>
Ja das sollt du auch zeigen. Funktioniert ähnlich wie oben.
Gruß helicopter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 So 08.12.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> Hallo,
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> > Die lineare Hülle ist ein Untervektorraum von A, und zwar
> der
> > kleinste Untervektorraum, der A enthält.
>
> Naja jeder Vektorraum ist ein Untervektorraum von sich
> selbst... Und was soll A sein?
> Schau dir die Definition von der Linearen Hülle noch
> einmal genauer an.
>
> >
> [mm]span(v_1,...,v_k,...,v_n)=span(v_1,...\lambda{}v_k,...,v_n)[/mm]
> >
> > Wenn ich jetzt hier also ein v mit einem Skalar
> multipliziere, ändert sich am Untervektorraum ja nichts.
> Aber wie soll ich das Skalar da
> > reinbekommen, bzw wie fängt der Beweis an?
>
> Zum Beispiel so: Zeige dass:
> [mm]span(v_1,...,v_k,...,v_n)\subset{}span(v_1,...\lambda{}v_k,...,v_n)[/mm]
> und
> [mm]span(v_1,...\lambda{}v_k,...,v_n)\subset{}span(v_1,...,v_k,...,v_n)[/mm]
>
> [mm]span(v_1,...\lambda{}v_k,...,v_n)\subset{}span(v_1,...,v_k,...,v_n)[/mm]:
> Sei [mm]$v\in{}span(v_1,...\lambda{}v_k,...,v_n)$[/mm] beliebig,
> dann ist
> [mm]$v=\lambda_{1}*v_{1}+...+\lambda*(\lambda_{k}*v_{k})+...+\lambda_{n}*v_{n}=\lambda_{1}*v_{1}+...+(\lambda*\lambda_{k})*v_{k}+...+\lambda_{n}*v_{n}\in{}span(v_1,...,v_k,...,v_n).[/mm]
>
> Analog die andere Richtung.
Sei v [mm] \in span(v_1,...,v_k,...,v_n) [/mm] beliebig. z.z.: [mm] span(v_1,...,v_k,...,v_n)\subset{}span(v_1,...\lambda{}v_k,...,v_n)
[/mm]
[mm] v=\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{k}v_{k}+...+\lambda_{n}v_{n}=\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda \lambda_{k}v_{k}+...+\lambda_{n}v_{n} [/mm] = [mm] \lambda_{1}v_{1}+...+(\lambda \lambda_{k})v_{k}+...+\lambda_{n}v_{n} \in span(v_1,...\lambda{}v_k,...,v_n)
[/mm]
> [mm]span(v_1,...,v_k,...,v_n)=span(v_1,...,v_k+\lambda{}v_l,...,v_n)[/mm]
> >
> > Hier wird ja von einem Vektor das Vielfache eines anderen
> abgezogen. Das ändert meines Erachtens nach den Unterraum
> auch nicht.
Sei beliebig [mm] \in span(v_1,...,v_k,...,v_n), [/mm] z.z.
[mm] span(v_1,...,v_k,...,v_n) \subset span(v_1,...,v_k+\lambda{}v_l,...,v_n)
[/mm]
v= [mm] \lambda_1v_1 [/mm] + ... + [mm] \lambda_kv_k [/mm] + ... + [mm] \lambda_nv_n [/mm] = [mm] \lambda_1v_1 [/mm] + ... + [mm] \lambda_kv_k [/mm] + [mm] \lambda \lambda_l v_l [/mm] + ... + [mm] \lambda_nv_n \in span(v_1,...,v_k+\lambda v_l,...,v_n)
[/mm]
Sei v beliebig [mm] \in span(v_1,...,v_k+\lambdav_l,...,v_n), [/mm] z.z.
[mm] span(v_1,...,v_k+\lambda{}v_l,...,v_n) \subset span(v_1,...,v_k,...,v_n)
[/mm]
[mm] v=\lambda_1v_1 [/mm] + ... + [mm] \lambda_kv_k [/mm] + [mm] \lambda \lambda_l v_l [/mm] + ... + [mm] \lambda_nv_n [/mm] =...
Kann ich jetzt einfach den hinzugefügten Term subtrahieren?
... [mm] \lambda_1v_1 [/mm] + ... + [mm] \lambda_kv_k [/mm] + [mm] \lambda \lambda_l v_l [/mm] - [mm] \lambda \lambda_l v_l [/mm] + ... + [mm] \lambda_nv_n [/mm] =...
und dann weitermachen?
> Ja das sollt du auch zeigen. Funktioniert ähnlich wie
> oben.
Müsste ich nicht eigentlich auch noch zeigen, dass [mm] span(v_1,...,v_k,...,v_n) [/mm] = [mm] span(v_1,...,v_n,...,v_k)
[/mm]
Oder ist das irrelevant?
> Gruß helicopter
>
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Hallo,
> Sei beliebig [mm]\in span(v_1,...,v_k,...,v_n),[/mm] z.z.
> [mm]span(v_1,...,v_k,...,v_n) \subset span(v_1,...,v_k+\lambda{}v_l,...,v_n)[/mm]
>
> v= [mm]\lambda_1v_1[/mm] + ... + [mm]\lambda_kv_k[/mm] + ... + [mm]\lambda_nv_n[/mm] =
> [mm]\lambda_1v_1[/mm] + ... + [mm]\lambda_kv_k[/mm] + [mm]\lambda \lambda_l v_l[/mm] +
> ... + [mm]\lambda_nv_n \in span(v_1,...,v_k+\lambda v_l,...,v_n)[/mm]
Naja, so gehts nicht glaube ich.
Sei [mm] $v\in{}span(v_1,...,v_k,...,v_n)$ [/mm] beliebig, dann ist
[mm] $v=\lambda_{1}v_{1}+...\lambda_{k}v_{k}+...+\lambda_{l}v_{l}+...+\lambda_{n}v_{n}=\lambda_{1}v_{1}+...\lambda_{k}v_{k}+\lambda_{k}\lambda{}v_{l}-\lambda_{k}\lambda{}v_{l}+...+\lambda_{l}v_{l}+...+\lambda_{n}v_{n}=\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{k}(v_{k}+\lambda{}v_{l})+...+(\lambda_{l}-\lambda_{k}\lambda{})v_{l}+...+\lambda_{n}v_{n}\in{}span(v_1,...,v_k+\lambda{}v_l,...,v_n)$
[/mm]
> Müsste ich nicht eigentlich auch noch zeigen, dass
> [mm]span(v_1,...,v_k,...,v_n)[/mm] = [mm]span(v_1,...,v_n,...,v_k)[/mm]
>
> Oder ist das irrelevant?
Theoretisch müsste man das auch zeigen aber das ist meiner Meinung nach offensichtlich, deswegen würde ich das nicht machen.
Gruß helicopter
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