Rang, Bild und Kern bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 So 15.01.2012 | | Autor: | Ciotic |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Rang rg [mm]\varphi[/mm], das Bild im [mm]\varphi[/mm] und den ker [mm]\varphi[/mm] der linearen Abbildung [mm]\varphi[/mm] : [mm] R^4 [/mm] -> [mm] R^2 [/mm] mit [mm]\varphi: \vec v -> A\vec v [/mm], wobei A = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 3 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 6
\end{pmatrix}
[/mm]
. Geben Sie eine Basis im [mm]\varphi[/mm] und eine Basis von ker [mm]\varphi[/mm] an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zunächst wird ja die linear Hülle bestimmt, die in diesem Fall aus zwei frei gewählten linear unabhängigen Vektoren besteht. Ist die lineare Hülle aber nicht die Menge aller linear unabh. Vektoren? Dann müssten ja alle Vektoren aufgeführt werden, da alle lin. unabh. sind. Wir haben aber folgende gewählt:
im A = span [mm]\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix} \right\}[/mm]
Danke !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
welche Wieitern lin unabh Vektoren aus [mm] \IR^2 [/mm] gibt es denn noch?
schreib mal einen hin und zeig, dass er nicht durch r*(1,0)+s*(0,6) dargestellt werden kann!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 So 15.01.2012 | | Autor: | Ciotic |
Danke !
Mit weiteren Vektoren hätte man 4 Unbekannt bei zwei Gleichungen, ergo nicht lösbar.
Also reichen zwei linear Unabh. Vektoren im [mm] R^2? [/mm]
Ich bräuchte nochmal eine einfach Erklärung, momentan ist mir das noch nicht ganz klar, obwohl es bestimmt simpel ist ;)
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Hallo,
der [mm] $\IR^2$ [/mm] ist ja 2-dimensional, d.h. du findest nicht mehr als 2 linear unabhängige Vektoren im [mm] $\IR^2$. [/mm]
Das Bild einer linearen Abbildung wird durch die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix aufgespannt, d.h. es gilt in deinem Bsp. [mm] $im(\varphi)=span\{\vektor{1 \\ 0},\vektor{3 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 2}, \vektor{0 \\ 6}\}$ [/mm] Diese Menge enthält aber linear abhängige Vektoren, die man weglassen kann ohne die aufgespannte Menge zu verkleinern. Lässt man alle linear abhängigen Vektoren weg, so erhält man z.B.
[mm] $im(\varphi)=span\{\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 6}\}$
[/mm]
man kann die gleiche Menge aber auch erzeugen mit
[mm] $im(\varphi)=span\{\vektor{3 \\ 0}, \vektor{0 \\ 6}\}$.
[/mm]
Alle diese Menge erzeugen das gleiche, nämlich das Bild von [mm] $\varphi$ [/mm] und da es zwei linear unabhängige Vektoren gibt, ist das Bild 2-dimensional.
Also: Wenn du einen Raum der Dimension $n$ hast, dann wird dieser von genau $n$ linear unabhängigen Vektoren aufgespannt. Das heißt aber auch, dass du nicht mehr als $n$ linear unabhängige Vektoren in dem Raum finden kannst...
Einigermaßen klar? Auch was Kern und Bild bedeutet?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 So 15.01.2012 | | Autor: | Ciotic |
Vielen Dank, nachdem ich deine Formulierung ein paar mal gelesen habe, ist es mir klar geworden.
Das Bild einer linearen Abbildung ist die lineare Hülle der Spalten der Matrix. Soweit richtig?
Und der Kern ist die Menge der Elemente, die den Nullvektor abbilden.
In meiner Aufgabe also: $ ker A = [mm] span\{\vektor{3 \\ -1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0 \\ -1 \\ 1/3}\} [/mm] $
Korrekt?
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Hallo,
ja, alles richtig.
LG Angela
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