Rang LGS Dimension < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:57 Fr 12.07.2013 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | Es Seien
[mm] A=\begin{pmatrix}
5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\
-1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\
3 & 3 & 4 & 1 & 2 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
sowie [mm] b=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}
[/mm]
und c= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}
[/mm]
a) Bestimmen Sie rang(A), rang(A|b) und rang(A|c).
b) Bestimmen Sie die Dimension des Lösungsraumes U:={x [mm] \in IR^6|Ax=0}
[/mm]
und lösen Sie das homogene GLS Ax=0
c) Ermitteln Sie jeweils die Lösungsmengen der GS Ax=b und Ax=c |
Hallo,
Aufgabenteil a) müsste ich richtig haben
rang(A) =2
rang(A|b)=2
rang(A|c) = 3
b)
hier habe ich Probleme
[mm] \begin{pmatrix}
5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\
0 & 6 & 7 & -2 & -1 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
wenn ich jetzt das homogene GLS Ax=0 lösen möchte
ich habe [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_6 [/mm] aber nur zwei Zeilen, dürfte ich mir dann vier variablen aussuchen? bsp: [mm] x_6 [/mm] =1 [mm] x_5=2 [/mm] usw?
genau das selbe Problem wäre ja bei Aufgabenteil c)
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:16 Fr 12.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Capri,
> Es Seien
> [mm]A=\begin{pmatrix}
5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\
-1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\
3 & 3 & 4 & 1 & 2 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> sowie [mm]b=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
> und c=
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> a) Bestimmen Sie rang(A), rang(A|b) und rang(A|c).
> b) Bestimmen Sie die Dimension des Lösungsraumes U:={x
> [mm]\in IR^6|Ax=0}[/mm]
> und lösen Sie das homogene GLS Ax=0
> c) Ermitteln Sie jeweils die Lösungsmengen der GS Ax=b
> und Ax=c
> Hallo,
>
> Aufgabenteil a) müsste ich richtig haben
> rang(A) =2
> rang(A|b)=2
> rang(A|c) = 3
das schaue ich mir vielleicht im Laufe des Tages an, oder jemand anderes
sagt vielleicht noch etwas schnell dazu!
> b)
>
> hier habe ich Probleme
> [mm]\begin{pmatrix}
5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\
0 & 6 & 7 & -2 & -1 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
Okay, so grob sehe ich, dass die 3. Zeile - 2 Mal die zweite Zeile von A die
erste ergibt. Damit kann ich
[mm] $A=\begin{pmatrix}
5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\
-1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\
3 & 3 & 4 & 1 & 2 & 2
\end{pmatrix}$
[/mm]
überführen in
[mm] $A'=\begin{pmatrix}
5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\
-1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
[/mm]
Bei $A'$ kopiere ich die erste Zeile und ersetze die zweite durch
erste Zeile + 5 Mal die zweite Zeile
und bekomme
[mm] $A''=\begin{pmatrix}
5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\
0 & 6 & 7 & -2 & -1 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
[/mm]
und [mm] $A\,$ $A'\,$ [/mm] und [mm] $A\,''$ [/mm] haben den gleichen Kern. Das stimmt also - Du
solltest nur generell mal Deine Rechenschritte dazuschreiben! Was siehst
Du denn sofort: Welchen Rang hat [mm] $A''\,$? [/mm] Welche Dimension wird dann [mm] $\text{Ker }A''$ [/mm] haben?
>
> wenn ich jetzt das homogene GLS Ax=0 lösen möchte
>
> ich habe [mm]x_1[/mm] bis [mm]x_6[/mm] aber nur zwei Zeilen, dürfte ich mir
> dann vier variablen aussuchen? bsp: [mm]x_6[/mm] =1 [mm]x_5=2[/mm] usw?
Na, nicht so speziell. Folgendes liegt etwa nahe:
Wir schreiben [mm] $x_3=p\,,$ $x_4=q\,,$ $x_5=r$ [/mm] und [mm] $x_6=s$ [/mm] - wobei $q,r,s,t [mm] \in \IR$
[/mm]
beliebig. Dann gilt
[mm] $x_2=\frac{1}{6}(-7p+2q+r-5s)=-\tfrac{7}{6}p+\tfrac{1}{3}q+\tfrac{1}{6}r-\tfrac{5}{6}s$
[/mm]
und
[mm] $x_1=\tfrac{7}{30}p-\tfrac{1}{15}q-\tfrac{1}{30}r+\tfrac{1}{6}s-\tfrac{2}{5}p-\tfrac{3}{5}q-\tfrac{4}{5}r=-\tfrac{53}{30}p+\tfrac{-46}{15}q-4r+\tfrac{1}{6}s$
[/mm]
Der Kern von $A''$ ist dann (nachrechnen)
[mm] $=\left\{p*\vektor{-\tfrac{5}{30}\\-\tfrac{7}{6}\\1\\0\\0\\0}+q*\vektor{-\tfrac{2}{3}\\\tfrac{1}{3}\\0\\1\\0\\0}+r*\vektor{-\tfrac{5}{6}\\\tfrac{1}{6}\\0\\0\\1\\0}+s*\vektor{\tfrac{1}{6}\\-\tfrac{5}{6}\\0\\0\\0\\1}: q,r,s,t \in \IR\right\}=\left\{p*\vektor{-5\\-35\\30\\0\\0\\0}+q*\vektor{-2\\1\\0\\3\\0\\0}+r*\vektor{-5\\1\\0\\0\\6\\0}+s*\vektor{1\\-5\\0\\0\\0\\6}: q,r,s,t \in \IR\right\}$
[/mm]
Kannst Du mir nun eine Basis von [mm] $\text{Ker }A=\text{Ker }A''$ [/mm] angeben?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Fr 12.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
weil's mir gerade auffiel:
> Der Kern von [mm]A''[/mm] ist dann (nachrechnen)
>
> [mm]=\left\{p*\vektor{-\tfrac{5}{30}\\-\tfrac{7}{6}\\1\\0\\0\\0}+q*\vektor{-\tfrac{2}{3}\\\tfrac{1}{3}\\0\\1\\0\\0}+r*\vektor{-\tfrac{5}{6}\\\tfrac{1}{6}\\0\\0\\1\\0}+s*\vektor{\tfrac{1}{6}\\-\tfrac{5}{6}\\0\\0\\0\\1}: q,r,s,t \in \IR\right\}=\left\{p*\red{\vektor{-5\\-35\\30\\0\\0\\0}}+q*\vektor{-2\\1\\0\\3\\0\\0}+r*\vektor{-5\\1\\0\\0\\6\\0}+s*\vektor{1\\-5\\0\\0\\0\\6}: q,r,s,t \in \IR\right\}[/mm]
den rotmarkierten Spaltenvektor kann man noch durch einen "schöneren"
ersetzen. Und natürlich auch [mm] $5/30=1/6\,$ [/mm] benutzen.
Ist Dir die Mengengleichheit übrigens klar? Und:
Ist Dir auch klar, wie man "kurz" prüft, ob da wirklich [mm] $\text{ker }A''$ [/mm] steht (einmal
mithilfe eines "Theorie-Satz" über Dimensionen, und der Rest durch
nachrechnen von "ein paar Gleichungen")?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
> Es Seien
> [mm]A=\begin{pmatrix}
5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\
-1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\
3 & 3 & 4 & 1 & 2 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> sowie [mm]b=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
> und c=
> [mm]%255Cbegin%257Bpmatrix%257D%25201%2520%255C%255C%25200%2520%255C%255C%25203%2520%255Cend%257Bpmatrix%257D[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> a) Bestimmen Sie rang(A), rang(A|b) und rang(A|c).
> b) Bestimmen Sie die Dimension des Lösungsraumes U:={x
> [mm]\in IR^6|Ax=0}[/mm]
> und lösen Sie das homogene GLS Ax=0
> c) Ermitteln Sie jeweils die Lösungsmengen der GS Ax=b
> und Ax=c
> Hallo,
>
> Aufgabenteil a) müsste ich richtig haben
> rang(A) =2
> rang(A|b)=2
> rang(A|c) = 3
EDIT: Huch! Ich hatte nicht gesehen, daß schon geantwortet wurde. Nun, doppelt hält besser, wird ja gesagt.
Hallo,
ja.
>
> b)
>
> hier habe ich Probleme
> [mm]\begin{pmatrix}
\red{5} & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\
0 & \red{6} & 7 & -2 & -1 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> wenn ich jetzt das homogene GLS Ax=0 lösen möchte
>
> ich habe [mm]x_1[/mm] bis [mm]x_6[/mm] aber nur zwei Zeilen, dürfte ich mir
> dann vier variablen aussuchen?
Ja, Du darfst 4 Variablen frei wählen.
Am besten nimmst Du immer die Variablen, in deren Spalte kein führendes Zeilenelement (rot markiert) steht.
Mit
[mm] x_6=u
[/mm]
[mm] x_5=t
[/mm]
[mm] x_4=s
[/mm]
[mm] x_3=r
[/mm]
bekommst Du
[mm] x_2=-7/6r+2/6s+1/6t-5/6u
[/mm]
[mm] x_1=-1/6r-2/3s-5/6t+1/6u
[/mm]
Also haben alle Lösungen [mm] \vektor{x_1\\\vdots\\x_6} [/mm] des Systems die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\\vdots\\x_6}=\vektor{-1/6r-2/3s-5/6t+1/6u\\-7/6r+2/6s+1/6t-5/6u\\r\\s\\t\\u}=r*\vektor{-1/6\\-7/6\\1\\0\\0\\0}+s*\vektor{-2/3\\2/6\\0\\1\\0\\0}+t*\vektor{-5/6\\1/6\\0\\0\\1\\0}+u*\vektor{1/6\\-5/6\\0\\0\\0\\1},
[/mm]
und diese 4 Vektoren sind eine Basis des Lösungsraumes des Gleichungssystems Ax=0.
(Ich hoffe, daß ich mich nicht verrechnet habe, mir kommt's hier aber eher aufs Prinzip an. Du kannst ja die Probe machen.)
> bsp: [mm]x_6[/mm] =1 [mm]x_5=2[/mm] usw?
So bekommst Du irgendwelche Lösungen.
Aber Du willst ja eine Basis des Lösungsraumes.
Du kannst es aber so machen:
1.Basisvektor: Wähle [mm] x_6=1, x_5=x_4=x_3=0, [/mm] dann ist [mm] x_2=-5/6 [/mm] und [mm] x_1=1/6, [/mm] also haben wir [mm] \vektor{1/6\\-5/6\\0\\0\\0\\1}
[/mm]
2.Basisvektor: Wähle [mm] x_5=1, x_6=x_4=x_3=0, [/mm] dann ist [mm] x_2=... [/mm] und [mm] x_1=..., [/mm] also haben wir ...
usw.
Durch andere Wahl der freien Variablen könntest Du Brüche vermeiden.
LG Angela
>
> genau das selbe Problem wäre ja bei Aufgabenteil c)
>
> LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 13:39 Fr 12.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Angela,
> > Es Seien
> > [mm]A=\begin{pmatrix}
5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\
-1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\
3 & 3 & 4 & 1 & 2 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > sowie [mm]b=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
> >
> und c=
> >
> [mm]%255Cbegin%257Bpmatrix%257D%25201%2520%255C%255C%25200%2520%255C%255C%25203%2520%255Cend%257Bpmatrix%257D[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
>
> >
> > a) Bestimmen Sie rang(A), rang(A|b) und rang(A|c).
> > b) Bestimmen Sie die Dimension des Lösungsraumes U:={x
> > [mm]\in IR^6|Ax=0}[/mm]
> > und lösen Sie das homogene GLS Ax=0
> > c) Ermitteln Sie jeweils die Lösungsmengen der GS Ax=b
> > und Ax=c
> > Hallo,
> >
> > Aufgabenteil a) müsste ich richtig haben
> > rang(A) =2
> > rang(A|b)=2
> > rang(A|c) = 3
>
>
> EDIT: Huch! Ich hatte nicht gesehen, daß schon geantwortet
> wurde. Nun, doppelt hält besser, wird ja gesagt.
>
> Hallo,
>
> ja.
>
> >
> > b)
> >
> > hier habe ich Probleme
> > [mm]\begin{pmatrix}
\red{5} & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\
0 & \red{6} & 7 & -2 & -1 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > wenn ich jetzt das homogene GLS Ax=0 lösen möchte
> >
> > ich habe [mm]x_1[/mm] bis [mm]x_6[/mm] aber nur zwei Zeilen, dürfte ich
> mir
> > dann vier variablen aussuchen?
>
> Ja, Du darfst 4 Variablen frei wählen.
> Am besten nimmst Du immer die Variablen, in deren Spalte
> kein führendes Zeilenelement (rot markiert) steht.
>
> Mit
> [mm]x_6=u[/mm]
> [mm]x_5=t[/mm]
> [mm]x_4=s[/mm]
> [mm]x_3=r[/mm]
> bekommst Du
> [mm]x_2=-7/6r+2/6s+1/6t-5/6u[/mm]
> [mm]x_1=-1/6r-2/3s-5/6t+1/6u[/mm]
>
> Also haben alle Lösungen [mm]\vektor{x_1\\\vdots\\x_6}[/mm] des
> Systems die Gestalt
>
> [mm]\vektor{x_1\\\vdots\\x_6}=\vektor{-1/6r-2/3s-5/6t+1/6u\\-7/6r+2/6s+1/6t-5/6u\\r\\s\\t\\u}=r*\vektor{-1/6\\-7/6\\1\\0\\0\\0}+s*\vektor{-2/3\\2/6\\0\\1\\0\\0}+t*\vektor{-5/6\\1/6\\0\\0\\1\\0}+u*\vektor{1/6\\-5/6\\0\\0\\0\\1},[/mm]
>
> und diese 4 Vektoren sind eine Basis des Lösungsraumes des
> Gleichungssystems Ax=0.
>
> (Ich hoffe, daß ich mich nicht verrechnet habe, mir
> kommt's hier aber eher aufs Prinzip an. Du kannst ja die
> Probe machen.)
ich habe bei meiner Rechnung die Probe gemacht (nachdem ich mich 3 Mal
verrechnet hatte, stimmte es endlich ^^). Von daher: Das ist okay.
Ich hab' aber gerade in der Mitteilung auch geschrieben, dass man hier
durchaus "die ganze Lösungsmenge" auf Richtigkeit prüfen kann, wenn
man "etwa geschickt" vorgeht.
> > bsp: [mm]x_6[/mm] =1 [mm]x_5=2[/mm] usw?
>
> So bekommst Du irgendwelche Lösungen.
Nebenbei: Das könnte man auch machen. Man müsste es nur solange
machen, bis man 4 linear unabhängige 'Lösungsvektoren' gefunden hat.
Das ist aber nicht gerade effizient...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 Fr 12.07.2013 | | Autor: | capri |
ok :) danke an euch beiden :)
|
|
|
|
