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| Aufgabe | Sei [mm] A\in M(m\times [/mm] n,k).
Dann gibt es B invertierbar [mm] \in M(n\times [/mm] n,k) und C invertierbar [mm] \in M(m\times [/mm] m,k), so dass: [mm] CAB=\begin{pmatrix}E_{r} & 0\\
0 & 0\end{pmatrix} [/mm] und [mm] E_{r} [/mm] ist die [mm] r\times r-\mbox{Einheitsmatrix.}Wobei [/mm] r=rg(A). |
Hallo,
ich habe diesen Satz für die Lösung einer Aufgabe verwendet, mir ist nun aber selbst nicht mehr klar, wie man ihn beweisen kann. Könnte jemand das grob skizzieren?
Im Prinzip ist das ja so ähnlich wie der Gauß-Algorithmus oder?
C und B sind ja invertierbar, müssen also vollen Rang haben. Ich sehe aber gerade nicht, wie ich die Wählen muss, sodass CAB die geforderte Form hat.
Gruß Sleeper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Mi 28.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> C und B sind ja invertierbar, müssen also vollen Rang
> haben. Ich sehe aber gerade nicht, wie ich die Wählen
> muss, sodass CAB die geforderte Form hat.
Jede Zeilen bzw. Spaltenumforung entspricht einer Multiplikation einer invertierbaren Matrix von links bzw. rechts.
SEcki
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Gut.
Mal angenommen ich habe eine Matrix, die schon so weit umgeformt wurde und dann z.B. so aussieht [mm] \begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
[/mm]
Wie kann ich das denn dann weiter umformen in [mm] \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
[/mm]
Das müsste dann doch nach dem Satz gehen.
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Hallo!
> Gut.
> Mal angenommen ich habe eine Matrix, die schon so weit
> umgeformt wurde und dann z.B. so aussieht [mm]\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.[/mm]
>
> Wie kann ich das denn dann weiter umformen in
> [mm]\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.[/mm]
>
> Das müsste dann doch nach dem Satz gehen.
Genau, das geht auch nach dem Satz!
Addiere die erste Spalte (-2) mal auf die zweite Spalte; vertausche dann zweite und dritte Spalte.
Grüße,
Stefan
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