Rang einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Di 07.02.2006 | | Autor: | Jan2006 |
Hallo!
Ich möchte gerne wissen, ob meine Lösung richtig ist! Gesucht ist der Rang der Matrix [mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 4 & -8 & 6 \\ -6 & 2 & -1}
[/mm]
Meine Lösung sieht folgendermaßen aus:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 4 & -8 & 6 \\ -6 & 2 & -1} [/mm]
= [mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & -10 & 0 \\ -6 & 2 & -1} [/mm] "2.Zeile - 2 mal die 1.Zeile"
= [mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & -10 & 0 \\ 0 & 5 & 8} [/mm] "3.Zeile + 3 mal die 1.Zeile"
= [mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & -10 & 0 \\ 0 & 0 & 8} [/mm] "3.Zeile + 0,5 mal die 2. Zeile"
= Rang 3, weil [mm] \pmat{ -10 & 0 \\ 0 & 8 } [/mm] = -80 - 0 = -80 [mm] \not= [/mm] 0
Daher bleibt der Rang bei 3. Aber was ist, wenn beim letzten Schritt rauskommen würde = 0?
Vielen Dank für eure Hilfe!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
mfg Jan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Di 07.02.2006 | | Autor: | Shaya |
rg 3 ist in deinem fall richtig. wäre die letzte zeile eine nullzeile, so wäre der rg2.
der rg ist immer gleich der anzahl der unabhängigen zeilen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Di 07.02.2006 | | Autor: | Jan2006 |
...hmmm da habe ich aber dennoch eine Frage zu.
Der Rang einer Matrix liest sich doch aus den Elementen der Hauptdiagonalen ab.
In Bezug auf eine 3 x 3 Matrix:
Wenn 3 Elemente der Hauptdiagonalen [mm] \not= [/mm] 0 sind, dann ist der Rang 3
Wenn 2 Elemente der Hauptdiagonalen [mm] \not= [/mm] 0 sind, dann ist der Rang 2
Wenn 1 Element der Hauptdiagonalen [mm] \not= [/mm] 0 ist, dann ist der Rang 1, oder?
Demnach hätte nicht unbedingt die letzte Zeile eine Nullzeile sein müssen, damit der Rang 2 wäre. Vielleicht kann das nochmal jemand näher erklären, auch warum ich den letzten Schritt mit [mm] \pmat{ -10 & 0 \\ 0 & 8 }= [/mm] -80 [mm] \not= [/mm] 0 machen muss und was dieser aussagt. Das geht aus meinem Script leider (für mich) nicht deutlich hervor.
Vielen Dank schon mal!
mfg Jan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Di 07.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Jan,
Man darf Zeilen vertauschen ohne den rang zu ändern.
Wenn es eine Nullzeile in der Mitte gibt, dann darf man sie mit einer Zeile weiter unten vertauschen, so dass alle Nullzeilen unten stehen.
Bei dem Gauß-Algo, den du verwendest, entsteht die Zeilenstufenform, d.h. eine weiter oben stehende Zeile muss immer einen Eintrag weiter links (ungleich 0) haben als eine weiter unten stehende.
(Diese Form hat den Vorteil, dass man dann von unten nach oben Lösungen des Gleichungssystem ablesen kann)
Der Rang der Matrix ist dann die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen, diese sind nämlich offensichtlich linear unabhängig, wenn sie vorher in Zeilenstufenform gebracht wurden.
Dies ist NICHT dasselbe, wie die Anzahl der nicht-null-elemente auf der Hauptdiagonalen, zum Beispiel:
[mm] $\pmat{1&2&3\\0&0&1\\0&0&0}$ [/mm] hat den Rang 2 nicht etwa 1.
> Vielleicht
> kann das nochmal jemand näher erklären, auch warum ich den
> letzten Schritt mit [mm]\pmat{ -10 & 0 \\ 0 & 8 }=[/mm] -80 [mm]\not=[/mm]
> 0 machen muss und was dieser aussagt. Das geht aus meinem
> Script leider (für mich) nicht deutlich hervor.
Leider verstehe ich auch nicht, was das soll.
Es wird jedenfalls die Determinante der Untermatrix berechnet, aber die hat eigentlich nur indirekt etwas mit dem Rang zu tun:
Wenn die Determinante der GESAMTEN Matrix ungleich 0 ist, so hat sie vollen Rang.
man könnte die Determinante jetzt nach der ersten Spalte entwickeln, aber dann fehlt der Faktor 2 in der Berechnung - also irgendwie stimmt hier was nicht...
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Di 07.02.2006 | | Autor: | Jan2006 |
N'Abend!
Kann ich irgendwie nachvollziehen dass der Rang deiner angegebenen Matrix = 2 und nicht eins ist.
Bei mir steht im Script und ich zitiere:
"Hat man eine Matrix auf Dreiecks- bzw. Trapezgestalt gebracht, so ist ihr Rang gleich der Anzahl der von Null verschiedenen Hauptdiagonalenelemente (nach eventueller Vertauschung der Spalten)."
Wer hat nun Recht?!?!? Mein Mathe-Prof oder du... oder beide???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Di 07.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Kann ich irgendwie nachvollziehen dass der Rang deiner
> angegebenen Matrix = 2 und nicht eins ist.
Ich sage es nochmal : die anzahl der nicht-null-zeilen, wenn vorher in zeilenstufenform
> Bei mir steht im Script und ich zitiere:
> "Hat man eine Matrix auf Dreiecks- bzw. Trapezgestalt
> gebracht, so ist ihr Rang gleich der Anzahl der von Null
> verschiedenen Hauptdiagonalenelemente (nach eventueller
> Vertauschung der Spalten)."
der nachsatz in der Klammer ist wichtig - bei meinem Beispiel kann man ja die zweite und dritte Spalte vertauschen, dann stehen ja 2 Elemente auf der Hauptdiagonalen.
Aber Vorsicht : wenn man spalten vertauscht, ändert man die Lösungsmenge !!! (bzw. man sollte sich mal überlegen, was passiert)
Also wenn man ein Gleichungssystem lösen will mit gauß bitte nur zeilenoperationen verwenden - so kommt man zum beispiel auf die Zeilenstufenform und da muss man eigentlich nicht mehr spalten tauschen, aber ok , wenn es deine Definition so will...
Was soll denn eine Trapezform sein? (genaue Definition)
> Wer hat nun Recht?!?!? Mein Mathe-Prof oder du... oder
> beide???
beide - hier wird nur von anderen Ansätzen gesprochen.
Dein Prof will wohl alles an der Hauptdiagonalen ablesen können oder sowas - aber keine ahnung, welchen Vorteil das haben soll.
Hast evtl ein Link zum Skript im Netz irgendwo?
Und ich bin vom klassischen Gauß ausgegangen, wo man keine Spaltenumformungen machen darf - deswegen die Verwirrung.
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
|
