Rang einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Do 22.03.2007 | | Autor: | Max80 |
Hallo zusammen!
Ich habe hier ein kleines Verständnisproblem was den Rang einer Matrix angeht. Definiert ist ja: "Der Rang einer Matrix gibt die Maximalzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren (oder Zeilenvektoren) an."
Soweit richtig?
Zur linearen Abhängigkeit gehören soweit ich es Verstanden habe immer 2 Vektoren mindestens. Ein Vektor alleine kann ja nicht linear (un)abhängig sein (von was denn...?!).
Für das LGS [mm] x_1 \* \vec{a_1} [/mm] + [mm] x_2 \* \vec{a_2} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] gilt ja:
Sind [mm] \vec{a_1} [/mm] und [mm] \vec{a_2} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] linear unabhängig von einander (also alle drei!), dann gibt es genau eine Lösung. D.h. ich hätte hier den Rang 3, richtig? Denn es sind ja drei linear unabhängige Vektoren.
Ich habe also eine Matrix M mit den ersten beiden Vektoren und eine Matrix [mm] \overline{M} [/mm] mit allen drei Vektoren wobei der Rang von M 2 ist und der Rang von [mm] \overline{M} [/mm] 3 ist. Ich würde sagen, bis hier erstmal ein break, denn ich bin mir gar nicht so sicher ob das alles stimmt was ich bis jetzt geschrieben habe! =)
Sollte es stimmen: Ich habe hier eine Tabelle mit den Lösungsmöglichkeiten für eine 2x2-Matrix die eben zu einer erweiterten Matrix erweitert wird (na das klingt toll^^).
Und in der Tabelle steht unter anderem folgendes:
n=2 [mm] \IL={x_1|x_2}
[/mm]
M [mm] \overline{M} [/mm] Lösungsmöglichkeiten
2 2 1
1 2 0
ok hier schon stop!
ich kapier diese beiden zeilen nicht einmal. was ist mit dem rang jetzt gemeint? in zeile 1 steht, der rang wäre 2. heißt das, 2 vektoren die linear unabhängig sind voneinander, oder heißt das jetzt ich habe 2 lineare unabhängigkeiten (dafür bräuchte ich doch 3 vektoren, oder nicht?). von oben weiß ich, a1, a2 und b müssen für eine einzige lösung linear unabhängig sein voneinander. bei der erweiterung steht aber immer noch 2 und nicht 3. trotzdem steht dort als lösungsmöglichkeiten 1. mhh. sehr kurios das alles. quelle ist das buch "Mathematik verständlich" von R.M. Fonfara(s,539 ff. Eigentlich sehr gut!, aber hier habe ich grad ein Problem =)
bitte nicht zurückschrecken vor der komischen art und weise wie ich das jetzt verfasst habe^^ ich glaube ich habe nur ein verständnisproblem mit der linearen abhängigkeit und das ist jetzt beim rang berechnen erst zum vorschein gekommen^^ ;)es kann auch sein das ich hier sehr vieles falsches gechrieben habe. alles hier ist das was ich vermute und glaube zu verstanden haben. ich hoffe es ist am ende simpler als ich glaube ;)
denn so richtig weiß ich immer noch nicht was jetzt der rang der matrix ist =) und ich glaube ehrlich gesagt, weiß ich nicht mal genau was jetzt wirklich die lineare unabhängigkeit ist ;) oder ich habe ein problem damit die anzahl der linearen unabhängigkeiten zu "zählen"...
vielen dank für eure hilfe!!
LG
Bunti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Do 22.03.2007 | | Autor: | unknown |
Hallo,
mal sehen, ob ich Deine Fragen etwas beantworten kann.
> Ich habe hier ein kleines Verständnisproblem was den Rang
> einer Matrix angeht. Definiert ist ja: "Der Rang einer
> Matrix gibt die Maximalzahl der linear unabhängigen
> Spaltenvektoren (oder Zeilenvektoren) an."
>
> Soweit richtig?
Ja.
> Zur linearen Abhängigkeit gehören soweit ich es Verstanden
> habe immer 2 Vektoren mindestens. Ein Vektor alleine kann
> ja nicht linear (un)abhängig sein (von was denn...?!).
Hier stimmt es jetzt nicht mehr. Die Definition der linearen Unabhängigkeit lautet:
Vektoren [mm] $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \ldots, \vec{v_n}$ [/mm] heißen linear unabhängig, falls aus einer Gleichung [mm] $a_1 \vec{v_1} [/mm] + [mm] a_2 \vec{v_2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_n \vec{v_n} [/mm] = [mm] \vec{0}$ [/mm] mit Skalaren [mm] $a_1,a_2,\ldots,a_n$ [/mm] bereits folgt [mm] $a_1 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] a_n [/mm] = 0$. Andernfalls heißen [mm] $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \ldots, \vec{v_n}$ [/mm] linear abhängig.
(Ein "linear unabhängig von" gibt es eigentlich gar nicht).1
Anders ausgedrückt, sind die Vektoren [mm] $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \ldots, \vec{v_n}$ [/mm] linear abhängig, wenn sich eine Gleichung [mm] $a_1 \vec{v_1} [/mm] + [mm] a_2 \vec{v_2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_n \vec{v_n} [/mm] = [mm] \vec{0}$ [/mm] finden lässt, bei der [mm] $a_j \neq [/mm] 0$ ist für mindestens ein $j = [mm] 1,\ldots,n$.
[/mm]
Wenn sich die Definition genau anguckt, merkt man auch, dass man mit der Aussage ein einzelner Vektor sei immer linear unabhängig etwas aufpassen muss: Der Nullvektor [mm] $\vec{0}$ [/mm] ist immer linear abhängig, denn es gilt ja zum Beispiel [mm] $1\cdot\vec{0} [/mm] = [mm] \vec{0}$. [/mm] (Pingelig, ich weiss, aber so ist das nunmal...).
> Für das LGS [mm]x_1 \* \vec{a_1}[/mm] + [mm]x_2 \* \vec{a_2}[/mm] = [mm]\vec{b}[/mm]
> gilt ja:
> Sind [mm]\vec{a_1}[/mm] und [mm]\vec{a_2}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] linear unabhängig
> von einander (also alle drei!), dann gibt es genau eine
> Lösung.
Wenn [mm] $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] linear unabhängig sind, dann gibt es nicht eine sondern gar keine Lösung! Das kann man mit Kontraposition und der Definition sofort beweisen:
Wenn es eine Lösung gibt, also [mm] $s_1$ [/mm] und [mm] $s_2$ [/mm] mit [mm] $s_1\vec{a_1} [/mm] + [mm] s_2\vec{a_2} [/mm] = [mm] \vec{b}$, [/mm] dann folgt daraus [mm] $s_1\vec{a_1} [/mm] + [mm] s_2\vec{a_2} [/mm] - [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] s_1\vec{a_1} [/mm] + [mm] s_2\vec{a_2} [/mm] + [mm] (-1)\vec{b} [/mm] = [mm] \vec{0}$. [/mm] Da wenigstens $-1 [mm] \neq [/mm] 0$ gilt, sind folglich laut Definition [mm] $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] linear abhängig. Wende nun Kontraposition an.
Etwas anschaulicher Ausgedrück besagt die lineare Unabhängigkeit von [mm] $\vec{v_1},\ldots,\vec{v_n}$ [/mm] eigentlich nichts anderes, als dass Gleichungen
[mm]
a_1\vec{v_1} + \ldots + a_{j-1}\vec{v_{j-1}} + a_{j+1}\vec{v_{j+1}} + \ldots + a_n\vec{v_n} = \vec{v_j}
[/mm]
nicht lösbar sind ($1 [mm] \leq [/mm] j [mm] \leq [/mm] n$).
> D.h. ich hätte hier den Rang 3, richtig? Denn es
> sind ja drei linear unabhängige Vektoren.
Im Moment hast Du noch keine Matrix, also auch keinen Rang.
> Ich habe also eine Matrix M mit den ersten beiden Vektoren
> und eine Matrix [mm]\overline{M}[/mm] mit allen drei Vektoren wobei
> der Rang von M 2 ist und der Rang von [mm]\overline{M}[/mm] 3 ist.
> Ich würde sagen, bis hier erstmal ein break, denn ich bin
> mir gar nicht so sicher ob das alles stimmt was ich bis
> jetzt geschrieben habe! =)
Nicht alles. Aber dieser Absatz ist in Ordnung.
> Sollte es stimmen: Ich habe hier eine Tabelle mit den
> Lösungsmöglichkeiten für eine 2x2-Matrix die eben zu einer
> erweiterten Matrix erweitert wird (na das klingt toll^^).
> Und in der Tabelle steht unter anderem folgendes:
>
> n=2 [mm]\IL={x_1|x_2}[/mm]
>
> M [mm]\overline{M}[/mm] Lösungsmöglichkeiten
>
> 2 2 1
> 1 2 0
>
> ok hier schon stop! [...]
Naja, wenn $M = [mm] [\vec{a_1}, \vec{a_2}]$ [/mm] ist, dann besagt [mm] $M\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b}$ [/mm] ja nichts anderes, als dass [mm] $x_1\vec{a_1} [/mm] + [mm] x_2\vec{a_2} [/mm] = [mm] \vec{b}$ [/mm] gilt. Wenn der Rang von $M$ 2 ist, dann sind [mm] $\vec{a_1}$ [/mm] und [mm] $\vec{a_2}$ [/mm] schonmal linear unabhängig. Jetzt soll [mm] $\overline{M}$ [/mm] auch den Rang 2 haben. Tja, dann können [mm] $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] nicht linear unabhängig sein, weil sonst der Rang ja 3 sein müsste. Also sind sie linear abhängig, und es gilt (mindestens) eine Gleichung
[mm]
s_1\vec{a_1} + s_2\vec{a_2} + y\vec{b} = \vec{0}
\quad\text{bzw.}\quad
s_1\vec{a_1} + s_2\vec{a_2} = - y\vec{b},
[/mm]
mit irgendwelchen Skalaren [mm] $s_1$, $s_2$ [/mm] und $y$. Wenn es nun keine andere Möglichkeit als $y = 0$ gäbe, hätten wir ja [mm] $s_1\vec{a_1} [/mm] + [mm] s_2\vec{a_2} [/mm] = [mm] \vec{0}$ [/mm] und damit folgt wegen der linearen Unabhängigkeit von [mm] $\vec{a_1}$ [/mm] und [mm] $\vec{a_2}$ [/mm] dann sofort [mm] $s_1 [/mm] = [mm] s_2 [/mm] = 0$. Daraus folgt dann aber, dass alle drei Vektoren linear unabhängig sind. Widerspruch! Also muss (auch) eine Gleichung wie oben mit $y [mm] \neq [/mm] 0$ gelten. Nun kann man mit $-1/y$ multiplizieren und erhält als Lösung [mm] $x_1 [/mm] = [mm] -s_1/y$ [/mm] und [mm] $x_2 [/mm] = [mm] -s_2/y$.
[/mm]
Dass es genau eine Lösung gibt, sieht man so. Seien [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] sowie [mm] $y_1$ [/mm] und [mm] $y_2$ [/mm] beides Lösungen. Dann gilt
[mm]
x_1\vec{a_1} + x_2\vec{a_2} = \vec{b} = y_1\vec{a_1} + y_2\vec{a_2}
\quad\text{also}\quad
(x_1-y_1)\vec{a_1} + (x_2-y_2)\vec{a_2} = \vec{0}.
[/mm]
Da [mm] $\vec{a_1}$ [/mm] und [mm] $\vec{a_2}$ [/mm] linear unabhängig sind, folgt daraus sofort [mm] $x_1 [/mm] - [mm] y_1 [/mm] = 0$, also [mm] $x_1 [/mm] = [mm] y_1$, [/mm] und [mm] $x_2 [/mm] - [mm] y_2 [/mm] = 0$, d.h. [mm] $x_2 [/mm] = [mm] y_2$.
[/mm]
Damit wäre die erste Zeile erledigt. Die zweite lässt sich vielleicht am einfachsten so einsehen: Wenn der Rang von $M$ nur 1 ist, dann sind [mm] $\vec{a_1}$ [/mm] und [mm] $\vec{a_2}$ [/mm] linear abhängig. Also gilt
[mm] $s_1 \vec{a_1} [/mm] + [mm] s_2 \vec{a_2} [/mm] = [mm] \vec{0}$ [/mm] für [mm] $s_1$ [/mm] und [mm] $s_2$, [/mm] wobei [mm] $s_1 \neq [/mm] 0$ oder [mm] $s_2 \neq [/mm] 0$ gelten. Nehmen wir einfach mal an, [mm] $s_2 \neq [/mm] 0$ (sonst nummeriere ich die Vektoren halt um!).
Dann folgt [mm] $\vec{a_2} [/mm] = [mm] -(s_1/s_2) \vec{a_1}$. [/mm] Kommen wir nun zur Gleichung [mm] $x_1\vec{a_1} [/mm] + [mm] x_2\vec{a_2} [/mm] = [mm] \vec{b}$. [/mm] Erstmal kann ich [mm] $-(s_1/s_2) \vec{a_1}$ [/mm] für [mm] $\vec{a_2}$ [/mm] einsetzen. Damit wird die Gleichung zu [mm] $(x_1 [/mm] - [mm] (s_1/s_2)x_2)\vec{a_1} [/mm] = [mm] \vec{b}$. [/mm] Allerdings hat [mm] $\overline{M}$ [/mm] hier den Rang 2. Das heisst, (irgendwelche) zwei Spalten in [mm] $\overline{M}$ [/mm] sind linear unabhängig. Da es nicht [mm] $\vec{a_1}$ [/mm] und [mm] $\vec{a_2}$ [/mm] sein können, müssen es [mm] $\vec{a_1}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] oder [mm] $\vec{a_2}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] sein. Wegen der Gleichung für [mm] $\vec{a_2}$ [/mm] kann ich sogar folgern, dass [mm] $\vec{a_1}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] linear unabhängig sind. (Übunsaufgabe für Dich: Warum?).
Wie ich irgendwo oben schon geschrieben habe, gibt es dann aber keine Lösungen für [mm] $(x_1 [/mm] - [mm] (s_1/s_2)x_2)\vec{a_1} [/mm] = [mm] \vec{b}$..
[/mm]
Hoffe, das hilft.
1 Nur als Nebenbemerkung: Es gibt Leute die sowas wie "linear abhängig von" definieren. Aber dann muss man immer aufpassen, ob das auch wirklich gemeint ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Do 22.03.2007 | | Autor: | Max80 |
hi!
danke für deine antwort!!
puh, alles sehr kompliziert^^
ich fasse mal kurz zusammen:
ein vektor ist linear unabhängig, wenn die gleichung [mm] a_1*\vec{v_1} [/mm] = 0 ergibt und a = 0 ist. sollte a != 0 sein und am ende bei der gleichung trotzdem als ergibnis 0 möglich sein, dann ist der vektor linear abhängig.
d.h. eigentlich alle außer dem nullvektor wenn sie alleine sind...
d.h. wenn ich das richtig verstanden habe, brauche ich für eine lineare abhängigkeit schon 2 vektoren oder mehr, korrekt?!
zwischenfrage:
gleichung:
[mm] a_1*\vec{v_1} [/mm] + [mm] a_2*\vec{v_2} [/mm] = 0
wenn ich jetzt bei [mm] a_2 [/mm] eine 12 einsetze, und am ende trotzdem null raus kommt, heißt das, dass [mm] \vec{v_2} [/mm] dann linear abhängig ist? oder sind dann beide vektoren linear abhängig?
richtig bis hierher??
wo ist hier der zusammenhang zur linearkombination??
mal kurz ein mini-beispiel:
[mm] x_1 [/mm] * [mm] \pmat{ 2 \\ 1 } [/mm] + [mm] x_2 [/mm] * [mm] \pmat{ 3 \\ 4 } [/mm] = [mm] \pmat{ 8 \\ 9 }
[/mm]
welche der drei vektoren sind jetzt hier linear abhängig und welche linear unabhängig und waruM??? =)
meine vermutung:
1. den ersten vektor kann ich NIE mit einem skalar auf 0 kriegen. also egal was ich fürn skalar habe, es kann auf keinen fall 0 raus kommen! => linear unabhängig!
2. das selbe gilt für die anderen beiden vektoren!
3. nun aus der lösung weiß ich jedoch, dass es genau eine lösung geben gibt! mist! =) demnach ist dort 'irgendwo' eine lineare abhängigkeit => wo?
wenn ich mich an dieser stelle mal dreist auf die linearkombination beziehe, müsste ich ja wieder in dieses "linear abhängig VON" gehen... ;)
ok zur tabelle:
zeile 1 hab ich verstanden =)
bei zeile zwei grübel ich grad noch bissi, weil wenn ich 1 vektor habe der linear unabhängig ist, dann heißt das, einer der beiden vektoren kann mit einem skalar multipliziert null ergeben, richtig? jedoch addiere ich den anderen, linear unabhängigen vektor noch dazu und dann würde dort ja wieder ein wert != 0 heraus kommen, oder?
daher die frage: warum sind a1 und a2 linear abhängig bei einem Rang von nur 1! es müsste doch der rang 0 sein, oder nicht?
ok. da du mir verraten hast, das a1 und a2 linear abhängig sind (habe nur wie gesagt nicht verstanden warum), ist mir jedoch klar, warum die lösungsmenge{} ist (weil der ergebnisvektor b auch linear unabhängig ist)! =)
vielen dank!!!!!
gruß
bunti
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:34 Do 22.03.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
>
> mal kurz ein mini-beispiel:
>
> [mm]x_1[/mm] * [mm]\pmat{ 2 \\ 1 }[/mm] + [mm]x_2[/mm] * [mm]\pmat{ 3 \\ 4 }[/mm] = [mm]\pmat{ 8 \\ 9 }[/mm]
>
>
> welche der drei vektoren sind jetzt hier linear abhängig
> und welche linear unabhängig und waruM??? =)
>
der Vektor [mm]\pmat{ 8 \\ 9 }[/mm] ist nicht linear unabhängig, weil er sich als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen lässt.
1*[mm]\pmat{ 2 \\ 1 }[/mm]+2*[mm]\pmat{ 3 \\ 4 }[/mm]=[mm]\pmat{ 8 \\ 9 }[/mm]
Hoffe, es hilft ein wenig?!
MfG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Do 22.03.2007 | | Autor: | Max80 |
hi!!
ja danke erstmal!!
soweit ist alles klar. aber sind dann die anderen beiden nicht auch linear abhängig? ich könnte ja auch sagen:
[mm]\pmat{ 8 \\ 9 }[/mm]-2*[mm]\pmat{ 3 \\ 4 }[/mm]=[mm]\pmat{ 2 \\ 1 }[/mm]
gruß
bunti
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Do 22.03.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
du befindest dich bei deinem Beispiel im [mm] \IR^{2}. [/mm] Und drei Vektoren im [mm] \IR^{2} [/mm] sind immer linear abhängig. 2 linear unabhängige Vektoren im [mm] \IR^{2} [/mm] bilden also immer den 3. Vektor. Zwei linear unabhängige Vektoren im [mm] \IR^{2} [/mm] bilden eine Basis.
> ich könnte ja auch sagen:
> [mm]\pmat{ 8 \\ 9 }[/mm]-2*[mm]\pmat{ 3 \\ 4 }[/mm]=[mm]\pmat{ 2 \\ 1 }[/mm]
>
Nimm doch einmal [mm]\pmat{ 3 \\ 4 }[/mm] und [mm]\pmat{ 2 \\ 1 }[/mm]
Die sind beide linear unabhängig:
[mm] \lambda_{1}*[/mm] [mm]\pmat{ 3 \\ 4 }[/mm][mm] +\lambda_{2}*[/mm] [mm]\pmat{ 2 \\ 1 }[/mm]=0 [mm] \gdw \lambda_{1}=\lambda_{2}=0 \gdw[/mm] [mm]\pmat{ 3 \\ 4 }[/mm] und [mm]\pmat{ 2 \\ 1 }[/mm] linear unabhängig.
Dann ist aber [mm]\pmat{ 8 \\ 9 }[/mm] linear abhängig.
Du kannst auch sagen:
[mm] \lambda_{1}*[/mm] [mm]\pmat{ 8 \\ 9 }[/mm][mm] +\lambda_{2}*[/mm] [mm]\pmat{ 2 \\ 1 }[/mm]=0 [mm] \gdw \lambda_{1}=\lambda_{2}=0 \gdw[/mm] [mm]\pmat{ 8 \\ 9 }[/mm] und [mm]\pmat{ 2 \\ 1 }[/mm] linear unabhängig.
Dann ist [mm] v_{3}=[/mm] [mm]\pmat{3 \\ 4 }[/mm] linear abhängig.
MfG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Do 22.03.2007 | | Autor: | Max80 |
so langsam wirds klarer =)
ich muss also darauf achten, welche gleichung ich habe. ich darf ja nicht willkürlich umstellen. je nach gleichung habe ich andere linear abhängige vektoren, richtig? =)
ok. eine letzt frage noch zum R2: Wenn ich die Vektoren
[mm] \pmat{ 0 \\ 8 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 \\ 2 }
[/mm]
und
[mm] \pmat{ 2 \\ 0 }
[/mm]
habe, dann sind ja die ersten beiden linear abhängig und der dritte nicht, richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 Fr 23.03.2007 | | Autor: | Max80 |
also mal ganz ehrlich, ich glaube ich bin zu dumm dafür.
was ich eigentlich wollte war, zu verstehen wie ich den rang der matrix berechne bzw. was das überhaupt ist. ich habe dazu folgendes file gefunden: http://www.mathe-online.at/materialien/klaus.berger/files/Matrizen/matrixrechenoperationen.pdf
es ist alles sehr simpel erklärt, und ich kapier es scheinbar trotzdem nicht. auf seite 5 zum beispiel, heißt es, die beiden vektoren sind ident. demnach kann ich beide über einen skalar (1) gegenseitig darstellen. also sind beide vektoren linear abhängig. trotzdem sagt er, wir haben einen linear unabhängigen vektor. WO??? und warum ist der rang jetzt 1???
ich dachte mir, wenn ich das schon nicht verstehe, vielleicht klappt es mit demhandwerk selbst. also habe ich mir folgendes beispiel heraus genommen:
[mm] \pmat{ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & 7 }
[/mm]
in der lösung steht:
1. schritt:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -2 }
[/mm]
2. schritt:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
und ich habe keine ahnung wie die auf diese zahlen gekommen sind und vorallem warum der rang hier jetzt 2 ist. woran kann man das ablesen???
kompliziert das alles :(
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> ich
> habe dazu folgendes file gefunden:
> http://www.mathe-online.at/materialien/klaus.berger/files/Matrizen/matrixrechenoperationen.pdf
>
Hallo,
da ich nicht gewogen bin, mir das auf meinen Rechner zu holen, kann ich dazu konkret nichts sagen, werde aber trotzdem versuchen, Dir eine Antwort zu geben.
>auf seite 5 zum beispiel, heißt
> es, die beiden vektoren sind ident. demnach kann ich beide
> über einen skalar (1) gegenseitig darstellen. also sind
> beide vektoren linear abhängig. trotzdem sagt er, wir haben
> einen linear unabhängigen vektor. WO??? und warum ist der
> rang jetzt 1???
Du hast also eine Matrix, welche aus zwei gleichen Zeilen oder Spalten besteht.
Rang =1 sagt: die größtmögliche Menge an linear unabhängigen Vektoren, die ich hieraus basteln kann, hat die Mächtigkeit 1.
>
> ich dachte mir, wenn ich das schon nicht verstehe,
> vielleicht klappt es mit demhandwerk selbst. also habe ich
> mir folgendes beispiel heraus genommen:
>
> [mm]\pmat{ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & 7 }[/mm]
>
> in der lösung steht:
> 1. schritt:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -2 }[/mm]
>
> 2. schritt:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> und ich habe keine ahnung wie die auf diese zahlen gekommen
> sind und vorallem warum der rang hier jetzt 2 ist. woran
> kann man das ablesen???
Diese Frage ist schnell zu beantworten: der Rang ist =2, weil die Matrix nun so umgeformt ist, daß man 2 linear unabhängige Zeilen dastehen hat.
Das sagt einem, daß die Ausgangsmatrix, bestehend aus den 3 Spaltenvektoren, zwei linear unabhängige Vektoren enthält.
Das Ziel der Umformungen ist die Zeile-Stufen-Form (nachlesen.)
Zunächst wurden die 1. und 2. Zeile vertauschet.
Dann wurde mit dem Ziel, an erster Stelle ein 0 zu haben, das zweifache der neuen 1. von der alten 3. subtrahiert.
Eine ähnliche Umformung für die neue 4. Zeile.
Damit "steht" die zweite Matrix.
Für die Umformung zur dritten ist das Ziel, in Zeile 3 mindestens zwei Nullen am Anfang zu haben.
Addition zur 2. Zeile führt aber dazu, daß bereits alles wegfällt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Fr 23.03.2007 | | Autor: | Max80 |
vielen dank! die umformung ist jetzt soweit verstanden.
als letztes kommt das "ablesen" =)
du sagst, in der umgeformten matrix, habe ich 2 spalten die linear unabhängig sind. ich bin der meinung es sind 0. schließlich kann ich alle drei vektoren über die anderen beiden darstellen. d.h. eigentlich sind die doch alle linear abhängig, oder nicht?
DANKE!
gruß
bunti
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> du sagst, in der umgeformten matrix, habe ich 2 spalten die
> linear unabhängig sind.
Ich sagte das, aber ich meinte eigentlich: zwei Zeilen...
(Es sind aber auch zwei der drei Spalten linear unabhängig, nämlich offensichtlich die ersten beiden. Ebenso offensichtlich ist die dritte von der ersten abhängig. Also: Rang =2. Nur der Vollständigkeit halber: immer ist Zeilenrang=Spaltenrang.)
> ich bin der meinung es sind 0.
> schließlich kann ich alle drei vektoren über die anderen
> beiden darstellen. d.h. eigentlich sind die doch alle
> linear abhängig, oder nicht?
Die drei Vektoren sind linear abhängig, das ist korrekt: Man kann sie nichttrivial "linearkombinieren", so, daß der Nullvektor herauskommt.
Beim "Rang" geht es um die Frage, wieviele Elemente die größte linear unabhängige Teilmenge hat, die man daraus machen kann.
Jetzt mal zur Praxis, denn Du wirst in Situationen (HÜ, Klausur, Prüfung) kommen, wo Du zur weiteren Beantwortung von Fragen (Lösungen eines GS, Dimension v. Kern und Bild) in der Lage sein mußt, den Rang einer Matrix zu bestimmen.
Um dies einigermaßen flink und systematisch zu erledigen, mußt Du unbedingt den  Gauß-Algorithmus beherrschen, mit welchem Du eine Matrix auf Dreiecks bzw. Zeilenstufenform bringen kannst.
Gruß v. Angela
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> so langsam wirds klarer =)
>
> ich muss also darauf achten, welche gleichung ich habe. ich
> darf ja nicht willkürlich umstellen. je nach gleichung habe
> ich andere linear abhängige vektoren, richtig? =)
>
> ok. eine letzt frage noch zum R2: Wenn ich die Vektoren
>
> [mm]\pmat{ 0 \\ 8 }[/mm]
> [mm]\pmat{ 0 \\ 2 }[/mm]
> und
> [mm]\pmat{ 2 \\ 0 }[/mm]
>
> habe, dann sind ja die ersten beiden linear abhängig und
> der dritte nicht, richtig?
Hallo,
[mm] \pmat{ 0 \\ 8 } [/mm] und [mm] \pmat{ 0 \\ 2 } [/mm] sind linear abhängig, denn es ist
[mm] 1*\pmat{ 0 \\ 8 }+(-4)* \pmat{ 0 \\ 2 }=\pmat{ 0 \\ 0 }.
[/mm]
Es sind [mm] \pmat{ 0 \\ 8 } [/mm] und [mm] \pmat{ 2 \\ 0 } [/mm] linear unabhängig, denn angenommen, es wäre
[mm] a*\pmat{ 0 \\ 8 } [/mm] +b* [mm] \pmat{ 2 \\ 0 }= \pmat{ 0 \\ 0}
[/mm]
==> a*0 + b*2=0 und a*8+b*0=0
==> b=0 und a=0,
also linear unabhängig. a=b=0 ist die EINZIGE Möglichkeit, die obige Linearkombination = [mm] \pmat{ 0 \\ 0} [/mm] zu bekommen.
Ebenso sind [mm] \pmat{ 0 \\ 8 } [/mm] und [mm] \pmat{ 2 \\ 0 } [/mm] linear unabhängig, die rechnung kannst Du selber probieren.
Es sind [mm] \pmat{ 0 \\ 8 }, \pmat{ 0 \\ 2 } [/mm] und [mm] \pmat{ 2 \\ 0 }linear [/mm] abhängig:
Sei
[mm] a*\pmat{ 0 \\ 8 } [/mm] +b* [mm] \pmat{0\\ 2 }+ c*\pmat{ 2 \\ 0 }= \pmat{ 0 \\ 0}
[/mm]
==> a*0+b*0+c*2=0 und a*8+b*2+c*0=0
==> c=0 und 4a+b=0
Es ergibt sich also nicht zwingend a=b=c=0, denn
zum Beispiel löst a=1, b=-4 , c=0 die Gleichung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Fr 23.03.2007 | | Autor: | Max80 |
ahhhh!
ich danke dir für diese antwort sehr.
die lineare abhängigkeit muss ich also immer auf alle vorhanden vektoren beziehen. habe ich z.b. 4 vektoren und will wissen ob der dritte linear abhängig ist, so muss ich das in abhängigkeit der anderen drei vektoren machen, richtig?
d.h. ich kann nur behaupten, der dritte vektor sei linear unabhängig, wenn ich ihn nur nr 1,2 oder 4 nicht darstellen kann (oder eine kombination der anderen drei halt).
soweit richtig?
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> die lineare abhängigkeit muss ich also immer auf alle
> vorhanden vektoren beziehen. habe ich z.b. 4 vektoren und
> will wissen ob der dritte linear abhängig ist, so muss ich
> das in abhängigkeit der anderen drei vektoren machen,
> richtig?
Hm - ich weiß nicht, ob ich Dich richtig verstehe.
Es kursieren ja zwei geringfügig verschiedene Fragen, welche sich oft stellen, welche eng zusammenhängen und sich im Grunde nicht unterscheiden.
Mal angenommen, wir haben 4 Vektoren zur Verfügung.
Frage 1: Sind diese 4 Vektoren linear unabhängig?
Das finden wir heraus, indem wir nachschauen, ob es eine nichttriviale Linearkombination gibt, bei welcher Null herauskommt.
Frage 2: Ist Vektor4 von den ersten dreien linear abhängig?
Hier gucken wir nach, ob wir Vektor4 als Linearkombination der drei anderen darstellen können.
Können wir das, so ist der Vektor4 von den anderen abhängig.
(In diesem Fall die 4 Vektoren linear abhängig - denn man kann sie nichttrivial zur Null kombinieren.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Mo 26.03.2007 | | Autor: | Max80 |
MERCI für diese zwei fragen. die letztendlich klarheit darüber gebracht haben. so langsam bin ich doch schlauer geworden! =)
"(In diesem Fall die 4 Vektoren linear abhängig - denn man kann sie nichttrivial zur Null kombinieren.)"
worauf beziehst du dich in diesem fall?
zur anderen antwort: es geht bei dem rang der matrix also gar nicht darum wie viele linear unabhängig vektoren ich in der matrix habe?
und: kann ich behaupten: anzahl linear unabhängiger spaltenvektoren in einer matrix = anzahl linear unabhängiger zeilenvektoren in einer matrix??
zu dem vorherigen beispiel:
[mm] \vektor{ 2 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{3 \\ 4} [/mm] und [mm] \vektor{8 \\ 9}
[/mm]
eine mögliche linearkombination (1 und 2 lin. unabhängig und der dritte lin. abhängig in diesem beispiel):
[mm] \lambda_1*\vektor{2 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda_2*\vektor{3 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{8 \\ 9}
[/mm]
ich habe hier drei linear abhängige vektoren. nun kan ich den dritten durch linear kombination der anderen beiden darstellen. also gilt hier auch allgemein der satz, dass die drei vektoren linear abhängig denn ich habe ja einen der sich durch die anderen darstellen lässt.
aber wie kann ich denn hier nichttrivial einen nullvektor darstellen???
zum rang der matrix:
ich habe hier in einer lösung folgende umgeformte matrix:
ursprüngliche matrix:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 3 & -1 & 2 \\ 3 & -1 & 5 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & 2 & -2 & -3 }
[/mm]
umgeformte matrix
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 3 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 }
[/mm]
ich sehe drei zeilen ungleich 0, lösung ist jedoch rang=2.
häh? ist die lösung falsch? muss ich nicht noch die 1 los werden?
und wenn ja: wir krieg ich die weg?
lg
bunti
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> "(In diesem Fall die 4 Vektoren linear abhängig - denn man
> kann sie nichttrivial zur Null kombinieren.)"
>
> worauf beziehst du dich in diesem fall?
Hallo,
hierauf:
"Frage 2: Ist Vektor4 von den ersten dreien linear abhängig?
Hier gucken wir nach, ob wir Vektor4 als Linearkombination der drei anderen darstellen können.
Können wir das, so ist der Vektor4 von den anderen abhängig.
(In diesem Fall die 4 Vektoren linear abhängig - denn man kann sie nichttrivial zur Null kombinieren.)"
Ich beziehe mich also auf den Fall, daß wir einen Vektor [mm] v_4 [/mm] haben, den wir als Linearkombination dreier Vektoren [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] darstellen können, z.B.
[mm] v_4=2*v_1+0*v_2-7v_3.
[/mm]
Wenn das so ist, können wir aus [mm] v_1,...,v_4 [/mm] die Null nichttrivial erzeugen
[mm] 0=2*v_1+0*v_2-7*v_3-1*v_4, [/mm] also sind die vier Vektoren linear abhängig.
>
> zur anderen antwort: es geht bei dem rang der matrix also
> gar nicht darum wie viele linear unabhängig vektoren ich in
> der matrix habe?
Doch, darum geht's. Wieviele der Vektoren maximal unabhängig sind. Wenn ich 5 linear unabhängige Vektoren habe, sind natürlich auch je drei dieser 5 linear unabhängig.
>
> und: kann ich behaupten: anzahl linear unabhängiger
> spaltenvektoren in einer matrix = anzahl linear
> unabhängiger zeilenvektoren in einer matrix??
Ja, das kannst Du behaupten - es wird in der Vorlesung üblicherweise bewiesen.
>
>
> zu dem vorherigen beispiel:
>
> [mm]\vektor{ 2 \\ 1}[/mm] und [mm]\vektor{3 \\ 4}[/mm] und [mm]\vektor{8 \\ 9}[/mm]
>
> eine mögliche linearkombination (1 und 2 lin. unabhängig
> und der dritte lin. abhängig in diesem beispiel):
>
> [mm]\lambda_1*\vektor{2 \\ 1}[/mm] + [mm]\lambda_2*\vektor{3 \\ 4}[/mm] =
> [mm]\vektor{8 \\ 9}[/mm]
[mm]1*\vektor{2 \\ 1}[/mm] + [mm]2*\vektor{3 \\ 4}[/mm] = [mm]\vektor{8 \\ 9}[/mm]
>
> ich habe hier drei linear abhängige vektoren. nun kan ich
> den dritten durch linear kombination der anderen beiden
> darstellen. also gilt hier auch allgemein der satz, dass
> die drei vektoren linear abhängig denn ich habe ja einen
> der sich durch die anderen darstellen lässt.
> aber wie kann ich denn hier nichttrivial einen nullvektor
> darstellen???
so: [mm]1*\vektor{2 \\ 1}[/mm] + [mm]2*\vektor{3 \\ 4}[/mm] -1*[mm]\vektor{8 \\ 9}[/mm]=0
>
>
> zum rang der matrix:
>
> ich habe hier in einer lösung folgende umgeformte matrix:
> ursprüngliche matrix:
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 3 & -1 & 2 \\ 3 & -1 & 5 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & 2 & -2 & -3 }[/mm]
>
> umgeformte matrix
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 3 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 }[/mm]
>
> ich sehe drei zeilen ungleich 0,
Ich auch. Wenn ich das sehen würde und Dir glauben, könnte ich nichts anderes denken als: der Rang der Matrix =3.
Aber ich habe nachgerechnet. Du hast Dich vertan, und daher :
> lösung ist jedoch rang=2.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Di 27.03.2007 | | Autor: | Max80 |
ahh. danke! hab leider noch eine kleinigkeit. erstmal danke für
die ganzen antworten!
bei der gleichung (nichttriviale berechnung des nullvektors)
gehst du jetzt mal von zahlen aus die da passen würden.
generell würde es aber immer funktionieren (selbst wenn ich 0,2222*v1 - 0,1111*v2 schreiben müsste)?
hat das was damit zu tun, dass wenn ich mehr vektoren habe als raum,
dass ich dann immer linear abhängige vektoren habe?
es heißt ja, wenn ich im R2 bin, und drei vektoren habe, dann sind die drei vektoren
IMMER linear voneinander abhängig. sprich ich kann jeden der vektoren durch einen
der anderen beiden ODER durch beide darstellen. richtig?
warum kann ich das denn behaupten?
ich könnte doch auch folgenden fall haben:
[mm] \vektor{2 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{4 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\4}
[/mm]
ich bin der meinung die sind linear unabhängig trotz R2.
höchstens die ersten beiden sind linear abhängig. aber der dritte
ist linear unabhängig. demnach haben wir hier ein problem... =)
>Doch, darum geht's. Wieviele der Vektoren maximal unabhängig sind. Wenn >ich 5 linear unabhängige Vektoren habe, sind natürlich auch je drei >dieser 5 linear unabhängig.
Warum drei? Diesen Satz versteh ich zugegeben nicht ganz... sorry!!
>so: [mm]1*\vektor{2 \\ 1}[/mm] + [mm]2*\vektor{3 \\ 4}[/mm] -1*[mm]\vektor{8 \\ 9}[/mm]=0
danke^^ ;)
zu der umgeformten matrix:
das ist ja komplett so aus der lösung übernommen. d.h. die umgeformte
matrix steht so in der lösung drin. meine vermutung war, dass es entweder
1. was damit zu tun hat, das ich in der diagonalen eine 0 habe (was bedeutet das? sieht so verdächtig aus und ich meine eine 0 in der diagonalen scheint schon was besonderes zu sein...) oder
2. ich nur eben bis zum ende der diagonalen (hier: 3,3) nullen brauche und alles dahinter unwichtig ist.
ist jetzt die lösung falsch, oder ist irgendwo was dran an meinen vermutungen?
wenn die lösung falsch sein sollte: wie kann man die dort noch stehende 1 weg kriegen??
LG & Danke!!
Bunti
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> bei der gleichung (nichttriviale berechnung des
> nullvektors)
> gehst du jetzt mal von zahlen aus die da passen würden.
> generell würde es aber immer funktionieren (selbst wenn
> ich 0,2222*v1 - 0,1111*v2 schreiben müsste)?
Ja, Deine Faktoren sind ja auch reelle Zahlen.
> hat das was damit zu tun,
was???
> dass wenn ich mehr vektoren habe
> als raum,
> dass ich dann immer linear abhängige vektoren habe?
Wenn die Anzahl der Dir vorliegenden Vektorenb größer ist als die Dimension des Raumes, sind die Dir vorliegenden Vektoren linear abhängig.
>
> es heißt ja, wenn ich im R2 bin, und drei vektoren habe,
> dann sind die drei vektoren
> IMMER linear
abhängig.
Goldrichtig.
> sprich ich kann jeden
> der vektoren durch einen
> der anderen beiden ODER durch beide darstellen. richtig?
Die Definition der linearen Unabhängigkeit ist: man kann die Vektoren nichttrivial zur Null linearkombinieren
>
> warum kann ich das denn behaupten?
> ich könnte doch auch folgenden fall haben:
>
> [mm]\vektor{2 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{4 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\4}[/mm]
>
> ich bin der meinung die sind linear unabhängig trotz R2.
> höchstens die ersten beiden sind linear abhängig. aber der
> dritte
> ist linear unabhängig. demnach haben wir hier ein
> problem... =)
>
Nein, wenn wir fragen, ob die drei Vektoren linear abhängig sind, geht es um die Kombination zur Null.
Hier:
[mm] -2*\vektor{2 \\ 0}[/mm]+[/mm] [mm][mm] \vektor{4 \\ 0}+\vektor{0 \\4}=\vektor{0 \\0}.
[/mm]
Also sind die drei linear abhängig -
obgleich man [mm] \vektor{0 \\4} [/mm] nicht aus [mm] \vektor{2 \\ 0}und \vektor{4 \\ 0}zusammenbasteln [/mm] kann, denn [mm] \vektor{4 \\ 0} [/mm] ist von den beiden unabhängig. In ihrer Gesamheit betrachtet sind die drei jedoch linear abhängig, s.o.
>
> >Doch, darum geht's. Wieviele der Vektoren maximal
> unabhängig sind. Wenn >ich 5 linear unabhängige Vektoren
> habe, sind natürlich auch je drei >dieser 5 linear
> unabhängig.
Ich wollte das mit dem Rang präzisieren. Wenn der =5 ist, findet man 5 unabhängige Spaltenvektoren, nicht mehr!
Aber wenn man 5 findet, findet man natürlich auch drei. Wie beim Ostereiersuchen. Wenn ich 5 im Korb habe, habe ich auch drei im Korb. Natürlich nicht: genau drei.
> das ist ja komplett so aus der lösung übernommen. d.h. die
> umgeformte
> matrix steht so in der lösung drin. meine vermutung war,
> dass es entweder
> 1. was damit zu tun hat, das ich in der diagonalen eine 0
> habe (was bedeutet das? sieht so verdächtig aus und ich
> meine eine 0 in der diagonalen scheint schon was besonderes
> zu sein...) oder
> 2. ich nur eben bis zum ende der diagonalen (hier: 3,3)
> nullen brauche und alles dahinter unwichtig ist.
>
> ist jetzt die lösung falsch,
Es ist die umgeformte Matrix falsch. Hast Du nochmel gerechnet? Man bekommt eine Matrix vom Rang 2.
> oder ist irgendwo was dran an
> meinen vermutungen?
Wenn sie richtig wäre, hättest Du recht mit Rang =3.
> wenn die lösung falsch sein sollte: wie kann man die dort
> noch stehende 1 weg kriegen??
Aus der Matrix, die dort am Ende steht, gar nicht. Der Fehler ist vorher passiert ==> neu rechnen.
Gruß v. Angela
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