Rang eines Moduls < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:50 Do 23.09.2010 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Betrachte die abelsche Gruppe [mm] \IZ/6\IZ \oplus \IZ/14\IZ \oplus \IZ/18\IZ [/mm]
Bestimme eine Zerlegung von G in direkte Summe von zyklischen [mm] $\IZ$-Moduls [/mm] von Primzahlenordnung. Gebe die Elementarteiler und den Rang von G. |
Hallo
nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte Moduln über Haupidealringen gilt:
[mm] G \cong \IZ/2\IZ \oplus \IZ/2\IZ \oplus \IZ/2\IZ \oplus \IZ/3\IZ \oplus \IZ/9\IZ \oplus \IZ/7\IZ [/mm]
Um die Elementarteiler zu bestimmen schreibe ich $6, 14, 18$ auf die Diagonale einer 3x3-Matrix und führe den bekannten Elementarteileralgorithmus aus. Daraus erhalte ich die Elementarteiler 2, 6, 126 (modulo Rechenfehler  )[mm] \Rightarrow G \cong \IZ/2\IZ \oplus \IZ/6\IZ \oplus \IZ/126\IZ [/mm]
Richtig soweit?
Ich weiß leider nicht wie ich den Rang bestimme. Der Rang ist die Kardinalität einer jeden Basis von G. Leider ist mir noch nicht so ganz klar wie ich die Basis eines Modlus finden kann. Kann mir hier jemand weiter helfen?
Vielen Dank für die Hilfe.
Viele Grüße, Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Fr 24.09.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo Felix, danke erstmal für deine Antwort.
Wir haben definiert:
[mm] (a_{i})_{i\in{I}}[/mm] heißt Basis des R-Moduls M [mm] \gdw (a_{i})_{i\in{I}} [/mm] ist linear unabhängiges Erzeugendensystem, d.h.:
Aus [mm] \sum_{i\in{I}}\lambda_{i}a_{i} = 0[/mm] wobei [mm] \lambda_{i} \in R, \lambda_{i}=0 [/mm] für fast alle $i [mm] \in [/mm] I$, folgt [mm] $\lambda_{i} [/mm] = 0$ für alle $i [mm] \in [/mm] I$ und
[mm] {Lin}\left((a_{i})_{i\in{I}}\right) = M[/mm]
Außerdem: M heißt frei [mm] $\gdw$ [/mm] M besitzt eine Basis.
Würde das nicht bedeuten, dass der betrachtet [mm] $\IZ$-Modul [/mm] gar keine Basis hat, da für [mm] a \in \IZ/6\IZ \oplus \IZ/14\IZ \oplus \IZ/18\IZ [/mm] gilt: [mm] {kgV}(6, 14, 18)* a = 0 [/mm]. Damit ist doch dann jede Familie aus dem Modul linear abhängig, M hat also keine Basis.
Viele Grüße, Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:21 Sa 25.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Lippel!
> Wir haben definiert:
>
> [mm](a_{i})_{i\in{I}}[/mm] heißt Basis des R-Moduls M [mm]\gdw (a_{i})_{i\in{I}}[/mm]
> ist linear unabhängiges Erzeugendensystem, d.h.:
> Aus [mm]\sum_{i\in{I}}\lambda_{i}a_{i} = 0[/mm] wobei [mm]\lambda_{i} \in R, \lambda_{i}=0[/mm]
> für fast alle [mm]i \in I[/mm], folgt [mm]\lambda_{i} = 0[/mm] für alle [mm]i \in I[/mm]
> und
> [mm]{Lin}\left((a_{i})_{i\in{I}}\right) = M[/mm]
>
> Außerdem: M heißt frei [mm]\gdw[/mm] M besitzt eine Basis.
Und wie genau habt ihr Rang fuer eine abelsche Gruppe (oder einen [mm] $\IZ$-Modul) [/mm] definiert? Da hier nach dem Rang gefragt wird, gibt es sicher noch eine Definition die hier anzuwenden ist, die nicht Basen im obigen Sinne benutzt.
> Würde das nicht bedeuten, dass der betrachtet [mm]\IZ[/mm]-Modul
> gar keine Basis hat, da für [mm]a \in \IZ/6\IZ \oplus \IZ/14\IZ \oplus \IZ/18\IZ[/mm]
> gilt: [mm]{kgV}(6, 14, 18)* a = 0 [/mm]. Damit ist doch dann jede
> Familie aus dem Modul linear abhängig, M hat also keine
> Basis.
Exakt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo Felix,
hab noch mal das Vorlesungsskript durchgeschaut. Wir haben den Rang tatsächlich nur für endlich freie Moduln definiert. Bei der Aufgabe hat sich unser Obertutor wohl vertan, oder er wollte, dass man rausfindet, dass man bei unserer Definition des Rangs dem betrachteten Modul keinen zuordnen kann.
Vielen Dank für deine Hilfe. Auch ohne Ergebnis hab ich die Begriffe Rang und Basis jetzt besser verstanden.
Viele Grüße, Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Sa 25.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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