Rang ermitteln < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Mo 30.01.2017 | | Autor: | nikotin |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix A = [mm] \pmat{ 1 & -a & 0 \\ -a & 1 & -a \\ 0 & -a & 1 }. [/mm]
a) Für welche a element R ist R(A) < 3 ?
b) Geben SIe ein a element R, so dass R(A) = 3 gilt. |
Könnte jemand mir bei dieser Aufgabenstellung helfen ?
Also bei der Aufgabe b sollen wir zeigen, dass der Rang = 3 ist. Dieses habe ich mit der Determinante probiert und es kam [mm] \pm \wurzel{1/2} [/mm] raus. Und somit ist die Determinante ungleich null, d.h. Rang ist somit 3.
Welche bedeutung hat aber in diesem Fall [mm] \pm \wurzel{1/2} [/mm] ? Heisst es, dass wir beim einsetzen von [mm] \pm \wurzel{1/2} [/mm] den Rang ungleich 0 bekommen ?
Zu der Aufgabe a habe ich mit Gaus-Algorithmus versucht zu rechnen und da kam auch Rang 3 raus. Wie zeige ich jetzt bei der Aufgabe a, dass der Rang <3 ist ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Mo 30.01.2017 | | Autor: | Stala |
Hallo,
ich weiß ja nicht, wie du die Determinante berechnet hast, aber bei mir kommt da das raus (mittels Sarrus-Regel):
det [mm] \pmat{ 1 & -a & 0 \\ -a & 1 & -a \\ 0 & -a & 1 } [/mm] = - [mm] 2a^2 [/mm] + 1
Wie du ja sicherlich weißt, ist die Matrix genau dann nicht invertierbar, wenn die Determinante gleich Null ist, also [mm] -2a^2 [/mm] + 1 =0
Dementsprechend ist die Matrix genau dann invertierbar wenn die Determinante ungleich Null ist, also:
[mm] -2a^2 [/mm] +1 [mm] \neq [/mm] 0
VG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Di 31.01.2017 | | Autor: | nikotin |
aber ich wollte nicht wissen, ob der Matrix invertierbar ist, sondern wissen, wie ich Rang < 3 zeigen kann.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> aber ich wollte nicht wissen, ob der Matrix invertierbar
> ist, sondern wissen, wie ich Rang < 3 zeigen kann.
Das verstehe ich nicht, denn die Aufgabenstellung lautet anders. In Teil a) sollst du doch alle Werte für a angeben, so dass rang(A)<3 gilt (also nichts zeigen, sondern etwas berechnen).
Und da du nun einmal eine quadratische Matrix zu untersuchen hast, so ist ganz nebenbei auch die Determinate definiert. Und wenn det(A)=0 eben nun einmal gleichbedeutend damit ist, dass eine quadratische Matrix keinen vollen Rang besitzt (und damit nicht invertierbar ist), dann kannst du (so du möchtest), deine Aufgabe über diesen Weg lösen. Bei einer 3x3-Matrix ist dies sicherlich dem Gauß-Verfahren vorzuziehen, dieses kannst du aber natürlich auch bemühen. Kurzum: Stala hat dir mit seinem Hinweis die Arbeit extrem erleichtert, da du aus seinem Resultat die Lösungen für beide Aufgabenteile herauslesen kannst.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Di 31.01.2017 | | Autor: | Stala |
Ich bin davon ausgegangen, dass der Zusammenhang zwischen Invertierbarkeit und dem Rang klar ist.
Ist deine 3x3 Matrix invertierbar, so hat sie den Rang 3, ist sie nicht invertierbar, so hat sie einen Rang<3
Im Übrigen ist FRED's Lösung wie so oft die einfaste und schönste ;)
VG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Di 31.01.2017 | | Autor: | fred97 |
Mit Gauß erhalte ich nach 3 Schritten:
$ [mm] \pmat{ 1 & -a & 0 \\ 0 & 1 & -2a \\ 0 & 0 & 1-2a^2 }. [/mm] $
Nun kann man ablesen:
ist [mm] 1-2a^2=0, [/mm] so ist rang(A)=2,
ist [mm] 1-2a^2 \ne [/mm] 0, so ist rang(A)=3.
|
|
|
|
