Rang;lineare Abb.; Unterraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ja bzw. Nein - Fragen:
1.) Der Rang einer Matrix ist invariant unter Zeilen- und Spaltentransformationen.
2.) Sei [mm] f:V\to [/mm] W eine lineare Abb. zwischen den Vektorräumen V und W. f ist surjektiv genau dann, wenn dim(Ker f)=dimV-dimW.
3.) Der Unterraum, der von den Spaltenvektoren einer Matrix erzeugt wird, ist invariant unter Spaltentransformationen. |
Hallo liebe Leute,
habe hier drei Multiple Choice fragen, die ich nur mit JA oder NEIN zu beantworten habe.
Wollte meine Überlegungen/Begründungen mal durch fachliche Kompetenz  überprüfen lassen:
Vorab: Habe invariant mit unveränderlich übersetzt. Stimmt das??
zu 1) NEIN,denn z.B. der Rang dieser Matrix [mm] A=\pmat{1 & 2 \\ 2 & 4} [/mm] hhat ja so den Rang 2 jedoch nach Zeilen-bzw.Spaltentransformationen [mm] A=\pmat{1 & 2 \\ 0 & 0} [/mm] nur noch Rang 1. Oder verstehe ich das hier falsch???
zu 2.) JA, denn ist f surjektiv so ist f(V)=W. Und gilt andersrum dim(Kerf)=dimV-dimW so sieht man, dass dies die Dimensionsformel für lineare Abbildungen ist wobei W=Im(f) [mm] \Rightarrow [/mm] f ist surjektiv.
zu 3.) JA, denn es gilt: die Spaltenvektoren einer Matrix spannen einen Unterraum auf (das Bild), d.h. also die Spaltenvektoren der Matrix bilden den Spann des Unterraumes. führt man nun bei der Matrix Spaltentransformationen durch, so fliegen höchstens nur die Spaltenvektoren raus, die sich als Linearkombination der anderen darstellen lassen,d.h. ich erhalte somit die maxmimale Anzahl von linear unabhängigen Vektoren die den Unterraum aufspannen, sprich eine Basis. der Unterraum bleibt jedoch der selbe!!
Wäre prima wenn ich das mal durchchecken könntet, und mir dann bescheid gebt!!
Viele Liebe Grüße, und Danke im Vorraus, der mathedepp_No.1
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Hallo,
> Ja bzw. Nein - Fragen:
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> 1.) Der Rang einer Matrix ist invariant unter Zeilen- und
> Spaltentransformationen.
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> 2.) Sei [mm]f:V\to[/mm] W eine lineare Abb. zwischen den
> Vektorräumen V und W. f ist surjektiv genau dann, wenn
> dim(Ker f)=dimV-dimW.
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> 3.) Der Unterraum, der von den Spaltenvektoren einer Matrix
> erzeugt wird, ist invariant unter Spaltentransformationen.
> Hallo liebe Leute,
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> habe hier drei Multiple Choice fragen, die ich nur mit JA
> oder NEIN zu beantworten habe.
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> Wollte meine Überlegungen/Begründungen mal durch fachliche
> Kompetenz überprüfen lassen:
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> Vorab: Habe invariant mit unveränderlich übersetzt. Stimmt
> das??
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> zu 1) NEIN,denn z.B. der Rang dieser Matrix [mm]A=\pmat{1 & 2 \\ 2 & 4}[/mm]
> hhat ja so den Rang 2 jedoch nach
> Zeilen-bzw.Spaltentransformationen [mm]A=\pmat{1 & 2 \\ 0 & 0}[/mm]
> nur noch Rang 1. Oder verstehe ich das hier falsch??? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Der Rang ist doch die Anzahl der Nicht-Nullzeilen der Matrix in [mm] \bold{Zeilenstufenform} [/mm] oder der Nicht-Nullspalten in [mm] \bold{Spaltenstufenform}, [/mm] also ist der Rang sowohl unter Zeilen, als auch unter Spaltenumformungen invariant!!
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> zu 2.) JA, denn ist f surjektiv so ist f(V)=W. Und gilt
> andersrum dim(Kerf)=dimV-dimW so sieht man, dass dies die
> Dimensionsformel für lineare Abbildungen ist wobei W=Im(f)
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist surjektiv. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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> zu 3.) JA, denn es gilt: die Spaltenvektoren einer Matrix
> spannen einen Unterraum auf (das Bild), d.h. also die
> Spaltenvektoren der Matrix bilden den Spann des
> Unterraumes. führt man nun bei der Matrix
> Spaltentransformationen durch, so fliegen höchstens nur die
> Spaltenvektoren raus, die sich als Linearkombination der
> anderen darstellen lassen,d.h. ich erhalte somit die
> maxmimale Anzahl von linear unabhängigen Vektoren die den
> Unterraum aufspannen, sprich eine Basis. der Unterraum
> bleibt jedoch der selbe!!
Die Spaltenumformungen bewirken höchstens eine Umordnung der Basis des Spaltenraumes, aber der bleibt derselbe.
Aber Achtung:Bei Zeilenumformungen ist das i.A. nicht so (bzgl. des Spaltenraumes)
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> Wäre prima wenn ich das mal durchchecken könntet, und mir
> dann bescheid gebt!!
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> Viele Liebe Grüße, und Danke im Vorraus, der mathedepp_No.1
Gruß zurück
schachuzipus
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