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| Aufgabe | Man beweise: Sind U [mm] \to [/mm] (f) V [mm] \to [/mm] (g) W lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen vor endlicher Dimension, so gilt:
rk (g [mm] \circ [/mm] f) [mm] \ge [/mm] rk (f) + rk (g) - dim (V). |
Hallo zusammen,
erst kurz ein Wort zur Aufgabestellung. Ganz oben soll das f und das g auf den Pfeilen stehen. also f: U -> V und g: V -> W... Hoffe ich interpretiere das richtig.
Das rk bedeutet den Rang einer Abbildung.
Also ich weiß, dass bei einer linearen Abb. gilt:
rk(f) = dim(im(f)).
Die Dimension ist die Anzahl der Basis-Vektoren eines Vektorraums.
Leider weiß ich echt gar nicht, wie ich bei diesem Beweis vorgehen muss, geschweige denn wie ich anfangen muss.
Ich hoffe mir kann jemand helfen, trotz meiner wenigen Lösungsansätze.
Vielen Dank
kaykay_22
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Rangssatz
Für eine lineare Abbildung [mm]f\colon V\to W[/mm] gilt [mm]\operatorname{dim}V=\operatorname{dim}(Bild(f))+\operatorname{dim}(Kern(f))[/mm].
Das wendet man auf f und [mm] $g\circ [/mm] f$ an.
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Tut mir Leid, irgendwie komme ich damit nicht weiter...
g [mm] \circ [/mm] f ist ja die Abb. U -> W?!
Ich habe irgendwie keinen Ansatz diese Ungleichung zu zeigen.
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> Tut mir Leid, irgendwie komme ich damit nicht weiter...
> g [mm]\circ[/mm] f ist ja die Abb. U -> W?!
Hallo,
ja.
> Ich habe irgendwie keinen Ansatz diese Ungleichung zu
> zeigen.
Naja, daß da dieser Satz, der was über die Dimensionen von Kern und Bild einer linearen Abbildung erzählt, im Spiel ist, hat Dir wieschoo ja verraten, und es ist etwas enttäuschend, daß man von Dir hier nun gar keine Versuche sieht, damit etwas anzufangen.
Wenn nicht angefangen wird, kann man nämlich auch schlecht weiterhelfen...
Es sind hier die lin. Abbildungen
[mm] f:U\to [/mm] V
[mm] g:V\to [/mm] W
[mm] g\circ [/mm] f: [mm] U\to [/mm] W
im Spiel.
Es hilft, wenn man zusätzlich noch die Einschränkung von g auf die Menge f(V), als das Bild von f, ins Rennen schickt, nennen wir sie [mm] g_1.
[/mm]
Es ist nämlich [mm] bild(g\circ f)=bild(g_1).
[/mm]
So, nun sollte man aber wirklich mal ein bißchen was zu sehen bekommen von Dir.
LG Angela
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