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| Aufgabe | Es sei A = [mm] (a_{i,j}) [/mm] eine Matrix aus M(n x n, [mm] \IR), [/mm] sodass für jedes i [mm] \in [/mm] {1,....,n} gilt:
[mm] |a_{i,i}| [/mm] > [mm] |a_{i,1}|+|a_{i,2}|+.....+|a_{i,i-1}|+|a_{i,i+1}|+....+|a_{i,n}|
[/mm]
Zeigen Sie, dass rg(A) = n
Hinweis: Zeigen Sie, dass die Spalten von A linear unabhängig sind. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wenn ich jetzt mal eine 3x3 Matix nehme, bekomme ich ja.
A= [mm] \pmat{ a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1}& a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} }
[/mm]
z.B. für i = 1:
Wie kann jetzt [mm] a_{1,1} [/mm] > [mm] a_{1,1}+ a_{1,2} [/mm] + [mm] a_{1,3}
[/mm]
Irgendwie verstehe ich da was nicht richtig.
Hat jemand ein Tipp was man da machen muss??
Vielen Dank
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So kommst du nicht weiter. Ausserdem sollst du nicht die Ungleichungen zeigen, sondern diese benutzen, um die regularitaet der matrix zu beweisen! Auch wird Beweis durch Induktion nicht funktionieren, da du die Matrix im allgemeinen nicht auf die Gestalt bringen kannst, wo der erste Diagonaleintrag eine $1$ ist und die anderen Eintraege der ersten Zeile und ersten Spalte lauter $0$ sind. Ich denke, du zeigst - wie im Hinweis erwaehnt - , dass die Matrix lin.unabhg. Spalten hat. Versuche es mit Widerspruch. Nimm an, dass die erste Spalte eine Linearkombination der anderen Spalten ist und benutze dabei die Ungleichungen!
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