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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:14 Fr 05.10.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Hallo, habe ich folgende zwei Punkte richtig verstanden:
1.) Sind [mm] $X_1,\hdots,X_n$ [/mm] unabhängige Zufallsvariablen und [mm] $X_i\sim F_i, i=1,\hdots,n$ [/mm] stetige Verteilungsfunktionen, so treten keine Bindungen auf, sprich:
[mm] $P(X_i=X_j)=0~\forall i\neq [/mm] j$
2.) Sind [mm] $X_1,\hdots,X_n$ [/mm] unabhängige Zufallsvariablen und [mm] $X_i\sim F_i=F, i=1,\hdots,n$ [/mm] stetige Verteilungsfunktionen (sprich: Sind die [mm] $X_i$ [/mm] unabhängig und identisch wie die stetige Verteilungsfunktion $F$ verteilt), so gilt:
[mm] $P(R=\Pi)=\frac{1}{n!}$,
[/mm]
wobei R den Rangvektor bezeichnen soll und [mm] $\Pi$ [/mm] aus dem Raum aller Permutationen über (1,...,n) stammt.
3.) Wenn die Voraussetrzungen unter 1.) gelten, muss nicht zwangsläufig gelten, dass
[mm] $P(R=\Pi)=\frac{1}{n!}$.
[/mm]
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Danke für jede Antwort.
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Bonsoir,
> Hallo, habe ich folgende zwei Punkte richtig verstanden:
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> 1.) Sind [mm]X_1,\hdots,X_n[/mm] unabhängige Zufallsvariablen und
> [mm]X_i\sim F_i, i=1,\hdots,n[/mm] stetige Verteilungsfunktionen, so
> treten keine Bindungen auf, sprich:
>
> [mm]P(X_i=X_j)=0~\forall i\neq j[/mm]
>
> 2.) Sind [mm]X_1,\hdots,X_n[/mm] unabhängige Zufallsvariablen und
> [mm]X_i\sim F_i=F, i=1,\hdots,n[/mm] stetige Verteilungsfunktionen
> (sprich: Sind die [mm]X_i[/mm] unabhängig und identisch wie die
> stetige Verteilungsfunktion [mm]F[/mm] verteilt), so gilt:
>
> [mm]P(R=\Pi)=\frac{1}{n!}[/mm],
>
> wobei R den Rangvektor bezeichnen soll und [mm]\Pi[/mm] aus dem Raum
> aller Permutationen über (1,...,n) stammt.
>
>
> 3.) Wenn die Voraussetrzungen unter 1.) gelten, muss nicht
> zwangsläufig gelten, dass
>
> [mm]P(R=\Pi)=\frac{1}{n!}[/mm].
>
> ??
> Danke für jede Antwort.
Nimm (auf dem entsprechenden Intervallen gleichverteilte) unabhängige Zufallsvariablen [mm] X_n=\chi_{[n,n+1)}. [/mm] Die Verteilungsfunktionen [mm] F_i [/mm] sind offenbar stetig.
Doch was gilt hier immer für den Rangvektor?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Fr 05.10.2012 | | Autor: | dennis2 |
> Nimm (auf dem entsprechenden Intervallen gleichverteilte)
> unabhängige Zufallsvariablen [mm]X_n=\chi_{[n,n+1)}.[/mm] Die
> Verteilungsfunktionen [mm]F_i[/mm] sind offenbar stetig.
> Doch was gilt hier immer für den Rangvektor?
>
Soll das ein Beispiel für die Aussage (iii) sein?
Ich verstehe noch nicht ganz.
Es sollen also die Zufallsvariablen lauten:
[mm] $X_i=\chi_{[i,i+1)}(x)=\begin{cases}1, & 1\leq x\leq i+1\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}$
[/mm]
und die sollen stetig verteilt sein jeweils über $[i,i+1)$?
Wie soll das gehen?
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> > Nimm (auf dem entsprechenden Intervallen gleichverteilte)
> > unabhängige Zufallsvariablen [mm]X_n=\chi_{[n,n+1)}.[/mm] Die
> > Verteilungsfunktionen [mm]F_i[/mm] sind offenbar stetig.
> > Doch was gilt hier immer für den Rangvektor?
> >
>
>
> Soll das ein Beispiel für die Aussage (iii) sein?
Jo
>
>
> Ich verstehe noch nicht ganz.
>
> Es sollen also die Zufallsvariablen lauten:
>
> [mm]X_i=\chi_{[i,i+1)}(x)=\begin{cases}1, & \red{i}\leq x\red{<} i+1\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> und die sollen stetig verteilt sein jeweils über [mm][i,i+1)[/mm]?
Gleichverteilt! Die Verteilung der Zufallsvariablen [mm] X_i [/mm] wird auch Rechtecksverteilung genannt, weil die Dichtefunktion [mm] f_{X_i}(x)=\chi_{[i,i+1)}(x) [/mm] wie ein Rechteck aussieht.
>
>
> Wie soll das gehen?
Die Verteilungsfunktionen [mm] F_i [/mm] sind dann absolut stetig, aber verschieden.
Und wenn du nun eine Stichprobe der ZVen [mm] X_1,\ldots,X_n [/mm] nimmst, dann ist diese immer geordnet.
LG
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Fr 05.10.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ich habe das mit den Indikatorfunktionen noch nicht verstanden. Oder missverstehe ich da jetzt einfach was und Du meinst schlicht und einfach:
[mm] $X_i\sim [/mm] SG[i,i+1)$
Dann ist die Dichte
[mm] $f_i(x)=\begin{cases}1, & i\leq x
Dann ist die Verteilungsfunktion:
[mm] $F_i(x)=\begin{cases}0, & x\leq i\\x-i, & ii+1\end{cases}, [/mm] würde ich meinen.
Wieso sind die Stichproben dann immer geordnet?
Das heißt, wieso gilt dann:
[mm] $P(r(X_1,\hdots,X_n)=\pi)=\begin{cases}1, & \pi=(1,2,\hdots,n)\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}$?
[/mm]
Weil sich eine über einem gewissen Intervall stetig gleichverteilte Zufallsvariable nur in diesem Intervall realisiert (und somit [mm] $X_i
[mm] $F_i(i)=0$ [/mm] und ebenso $1-F(i+1)=0$ ?
----
Und wenn die [mm] $X_i$ [/mm] identisch verteilt wären, könnte man ja die Positionen der [mm] $X_i$ [/mm] ja einfach untereinander tauschen, sodass man [mm] $P(r(X_1,...,X_n)=\pi)=P(r(X_{\pi^{-1}(1)},...,X_{\pi^{-1}(n)}=(1,...,n))$ [/mm] stets als [mm] $P(r(X_1,...,X_n)=(1,2,...,n))$ [/mm] interpretieren kann und das ist $1/n!$?
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> Ich habe das mit den Indikatorfunktionen noch nicht
> verstanden. Oder missverstehe ich da jetzt einfach was und
> Du meinst schlicht und einfach:
>
>
> [mm]X_i\sim SG[i,i+1)[/mm]
>
> Dann ist die Dichte
>
> [mm]f_i(x)=\begin{cases}1, & i\leq x
>
> Dann ist die Verteilungsfunktion:
>
> [mm]$F_i(x)=\begin{cases}0, & x\leq i\\x-i, & i
> würde ich meinen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wieso sind die Stichproben dann immer geordnet?
>
>
> Das heißt, wieso gilt dann:
>
> [mm]P(r(X_1,\hdots,X_n)=\pi)=\begin{cases}1, & \pi=(1,2,\hdots,n)\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]?
>
> Weil sich eine über einem gewissen Intervall stetig
> gleichverteilte Zufallsvariable nur in diesem Intervall
> realisiert (und somit [mm]X_i
genau!
>
> [mm]F_i(i)=0[/mm] und ebenso [mm]1-F(i+1)=0[/mm] ?
>
> ----
>
> Und wenn die [mm]X_i[/mm] identisch verteilt wären, könnte man ja
> die Positionen der [mm]X_i[/mm] ja einfach untereinander tauschen,
> sodass man
> [mm]P(r(X_1,...,X_n)=\pi)=P(r(X_{\pi^{-1}(1)},...,X_{\pi^{-1}(n)}=(1,...,n))[/mm]
> stets als [mm]P(r(X_1,...,X_n)=(1,2,...,n))[/mm] interpretieren kann
> und das ist [mm]1/n![/mm]?
So ist es:)
>
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Fr 05.10.2012 | | Autor: | dennis2 |
Jetzt ist es mir klar geworden, vielen lieben Dank!
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